旋转几何证明

巧用旋转解题 温州市实验中学 周利明 传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。 1．利用旋转求角度的大小 例1：在等腰直角△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC, P 是△ABC 内一点,满足 PA=6 、PB=2、PC=1 求∠BPC 的度数. 分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的 长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此 要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助 旋转来分析问题，因为 AC=BC，这就给我们利用旋转 创造了条件，因此可以考虑将APC绕点 C 逆时针旋转090 ， 得CPB ,连接 PP  ，通过三角形的边与角的关系分别求得PCP 和PBP，就可得到BPC的大小。 解：由已知 AC=BC，将APC绕点 C 逆时针旋转090 ，得CPB ,连接 PP  ； 由旋转可知：ACPCBP， PCCP，APBP； ∴090ACBPCBCBP， ∴CPP是等腰直角三角形 ， ∴045PPCPCP且2PP， 在PBP中， 22222222( 2)6( 6)PBPPAPBP， ∴PBP是直角三角形，且090PBP， ∴0001359045PBPPCPBPC． 例2：如图所示,正方形ABCD 的边长为 1，P、Q 分别为边 AB、AD 上的点, APQ的周长为 2，求PCQ的大小． 分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长 BC=DC,所以可以考虑将PBC绕点 C 顺时针旋转90°，易证 E、D、Q 三P A B C P’ 点共线，通过证明ECQ和PCQ全等即可求得PCQ的大小． 解： BC=DC， ∴ 将PBC绕点C 顺时针旋转90°得EDC； ∴ 090CBPEDC，PCBECD，PBED ， CPCE ； ∴ 090PCQDCQPCBPCQDCQECD， 且 0180CDAEDC， ∴ E、D、Q 三点共线， APQ的周长为 2，即2PQAPAQ， 又 2ADABQDPBAPAQ， ∴ EQDQEDDQPBPQ， 在 ECQ和PCQ中：CQCQPQEQCPCE，∴ ECQ PCQ； ∴045ECQPCQ． 练习１：P 为正方形内一点,且 PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB 的大小． 2．利用旋转求线段的长度 例 3：如图，P 是等边△ABC 内一点，PA=2，32PB，PC=4...