一. 选择题 1. 设为常数, 则级数 (A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与取值有关. 解. 绝对收敛, 发散, 所以 发散. (B)是答案 2. 设 , 则 (A) 与 都收敛. (B) 与 都发散. (C) 收敛, 而 发散. (D) 发散, 收敛. 解. 由莱布尼兹判别法 收敛, . 因为 , 发散, 所以 发散. ( C)是答案. 3. 设函数 , 而 . 其中 , 则 等于 (A) , (B) , (C) , (D) 解. 是 进行奇展拓后展成的富氏级数. 所以 = . (B)是答案. 4. 设 条件收敛, 则 (A) 收敛, (B) 发散, (C) 收敛, (D) 和 都收敛. 解. 因为 条件收敛, 所以 . 对于(C), 所以 . (C)是答案. 5. 设级数 收敛, 则必定收敛的级数为 (A) (B) (C) (D) 解. 收敛, 所以 收敛. 收敛级数的和收敛. 所以(D)是答案. 对于(C)有以下反例: , , . 所以 发散. 6. 若 在 处收敛, 则此级数在 处 (A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定. 解. 因为在 收敛, 所以收敛半径大于2. 幂级数在收敛半径内的任何点都绝对收敛. (B)是答案. 7. 设幂级数 的收敛半径为3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 (A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2) 解. 和 有相同收敛半径. 所以 , 在(－2, 4)中级数一定收敛, 在端点级数不一定收敛. 所以答案为(A). 二. 判断下列级数的敛散性: 1. 解. 因为 , 所以 和 有相同的敛散性. 又因为 发散, 由积分判别法知 发散. 所以原级数发散. 2. 解. 因为 , 所以 和 有相同的敛散性. 收敛, 所以原级数收敛. 3. 解. , 所以级数发散. 4. 解. , 所以级数收敛. 5. 解. ， 所以级数收敛. 6. 解. 拉阿伯判别法: , . > 1, 所以级数收敛. 7. 解. , 级数收敛. 8. 解. , 级数收敛. 9. 解. 考察极限 令 , = 所以 , 即原极限为1. 原级数和 有相同的敛散性. 原级数发散. 10. 解. , 级数发散. 三. 判断下列级数的敛散性 1. 解. 因为 , 级数发散. 2. 解. , 令 当x > 0 时, , 所以数列 单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛. 因为 , 而 发散, 所以 发散. 原级数条件收敛. 3. 解. 因为 , 所以 收敛, 原级数绝对收敛. 4. 解. 因为 所以 收敛, 原级数绝对收敛. 5. 解. =1, 收敛, 原级数绝对收敛. 6. 解. . ...
