- 1 - 初一数学基础知识讲义第一讲 和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1) 几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a| 。(2) 代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。也可以写成：||0aaaaaa当 为正数当 为0当 为负数说明：（Ⅰ） |a| ≥0 即|a| 是一个非负数；（Ⅱ） |a| 概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例 1．（数形结合思想）已知a、b、c 在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c －a | － | b－c | 的值等于（A ）A ．－ 3a B． 2c －a C．2a－2b D． b - 2 - 解： | a | + | a+b | + | c －a | － | b－ c |=－a－(a+b)+(c －a)+b －c=－3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例 2．已知：zx0，0xy，且xzy， 那么yxzyzx的值（C ）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号解：由题意， x、y、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例 3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：yx3，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若 x 在原点左侧， y 在原点右侧，即x<0，y>0 ，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= －6 若 x 在原点右侧， y 在原点左侧，即x>0，y<0 ，则 －4y=8 ，所以 y=－2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若 x、y 在原点左侧，即x<0，...
