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讲义1和绝对值有关的问题

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- 1 - 初一数学基础知识讲义第一讲 和绝对值有关的问题一、知识结构框图:数二、绝对值的意义:(1) 几何意义:一般地,数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a| 。(2) 代数意义:①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;③零的绝对值是零。也可以写成:||0aaaaaa当 为正数当 为0当 为负数说明:(Ⅰ) |a| ≥0 即|a| 是一个非负数;(Ⅱ) |a| 概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例 1.(数形结合思想)已知a、b、c 在数轴上位置如图:则代数式| a | + | a+b | + | c -a | - | b-c | 的值等于(A )A .- 3a B. 2c -a C.2a-2b D. b - 2 - 解: | a | + | a+b | + | c -a | - | b- c |=-a-(a+b)+(c -a)+b -c=-3a 分析:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。例 2.已知:zx0,0xy,且xzy, 那么yxzyzx的值(C )A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号解:由题意, x、y、z 在数轴上的位置如图所示:所以分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z 三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。例 3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3 倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解:设甲数为x,乙数为y 由题意得:yx3,(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:若 x 在原点左侧, y 在原点右侧,即x<0,y>0 ,则 4y=8 ,所以 y=2 ,x= -6 若 x 在原点右侧, y 在原点左侧,即x>0,y<0 ,则 -4y=8 ,所以 y=-2,x=6 (2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:若 x、y 在原点左侧,即x<0,...

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