1 期 望 与 方 差 的 相 关 公 式 的 证 明 -、数学期望的来由 早 在 17 世 纪 ，有 一 个 赌 徒 向 法 国 著 名 数 学 家 帕 斯 卡 挑 战 ，给 他 出 了 一 道 题 目 ，题 目 是 这 样 的 ： 甲 乙 两 个 人 赌 博 ， 他 们 两 人 获 胜 的 机 率 相 等 ， 比 赛 规 则 是 先 胜 三局 者 为 赢 家 ， 赢 家 可 以 获 得 100 法 郎 的 奖 励 。 当 比 赛 进 行 到 第 三 局 的 时 候 ， 甲 胜了 两 局 ， 乙 胜 了 一 局 ， 这 时 由 于 某 些 原 因 中 止 了 比 赛 ， 那 么 如 何 分 配 这 100 法 郎才 比 较 公 平 ？ 用 概 率 论 的 知 识 ， 不 难 得 知 ， 甲 获 胜 的 概 率 为 1/2+(1/2)*(1/2)=3/4， 或 者 分 析乙 获 胜 的 概 率 为 (1/2)*(1/2)＝ 1/4。 因 此 由 此 引 出 了 甲 的 期 望 所 得 值 为 100*3/4=75法 郎 ， 乙 的 期 望 所 得 值 为 25 法 郎 。 这 个 故 事 里 出 现 了 “期 望 ”这 个 词 ， 数 学 期 望 由 此 而 来 。 定义 1 若 离 散 型 随 机 变 量 可 能 取值 为ia（i=1，2，3 ，…），其分 布列为ip（i =1，2， 3， …）， 则 当iii pa1<时 ， 则 称 存在 数 学 期 望 ， 并且数 学 期 望 为 E =1iii pa，如 果iii pa1=， 则 数 学 期 望 不 存在 。 1 定义 2 期 望 ：若 离 散 型 随 机 变 量 ξ，当 ξ=xi 的 概 率 为 P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n， …）， 则 称Eξ=∑xi pi 为 ξ的 数 学 期 望 ， 反映了 ξ的 平 均值 . 期 望 是 算术平 均值 概 念的 推广， 是 概 率 意义下的 平 均.Eξ由 ξ的 分 布列唯一 确定. 二、数 学 期 望 的 性质 （1）设 C 是 常 数 ， 则 E(C)=C 。 （2）若 k 是 常 数 ， 则 E(kX)=kE(X)。 （3）)E(X)E(X )XE(X2121。 三 、 方 差 的 定义 前 面 我 们 介 绍 了 随 机 变 量 的 数 学 期 望 ， 它 体 现 了 随 机 变 量 取值 的 平 均水 平 ，是 随 机 变 量 一 个 重 要 的 数 字 ...
