第二章 度量空间与赋范线性空间 第2 章 度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间nR的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数 d ，即对yxyxdRyx),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。 【定义 2 .1 】 设X 是一个非空集合，),( ••：,0XX是一个定义在直积XX 上的二元函数，如果满足如下性质： （1 ） 非负性 yxyxyxXyx0,(,0),(,,； （2 ） 对称性 ),(),(,,xyyxXyx （3 ） 三角不等式 ),(),(),(,,,yzzxyxXzyx； 则称),(yx是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),( ••成为一个度量空间（或距离空间），记为),(X。 注： X 中的非空子集 A，按照X 中的距离),( ••显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起 混 淆 时，),(X可简 记为X ,并且 常称X 中的元素为点 。 例 2 .1 离散 的距离空间 设X 是任 意 非空集合，对 X 中任 意 两点,,x yX令 1 ( , )0 xyx yxy 显然，这 样 定义的),( ••满足距离的全 部 条件 ，我们称(, )X 是离散 的距离空间。这 种 距离是最粗 的。它只 能 区 分X 中任 意 两个元素是否 相 同，不能 区 分应用泛函分析(第二版) 元素间的远近程度。 此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。 例2 .2 n 维欧几里得空间nR 表示n 维向量12,,,nxx xx的全体组成的集合，也表示n 个实数12,,,nx xx 组成的数组12,,,nx xx的全体形成的集合。对12,,,nxx xx，12,,,nnyy yyR，定义 1221( , )()niiix yxy （2.1） 下面来证),( ••满足度量定义中的条件（1）~（3）。 由式（2.1）不难验证),( ••满足条件（1），...
