们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学
1 距离线性空间 SS1
选择公理，良序定理，佐恩引理 有序集的定义： （1）若 a 在 b 之先，则 b 便不在 a 之先
（2）若 a 在 b 之先，b 在 c 之先，则 a 在 c 之先
这种先后关系记作 良序集：A 的任何非空子集 C 都必有一个属于 C 的最先元素
良序集的超限归纳法： （1） 为真，这里是 A 中最先的元素
2） 对一切,为真，则 亦真 那么 对一切皆真
选择公理 设 N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在 N 上的函数 f，使得对一切N 都有 部分有序 称元素族 X 是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质： 例如 X 中包换关系 在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序 其中完全有序的 C：
例如 在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的
佐恩引理 设 X 非空的部分有序集，如果 X 的任何完全有序子集都有一个上界在 X 中，则 X 必含有极大元
从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋范线性空间
线性空间，哈迈尔（Hamel）基 线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等
线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭
线性流形的和 M+N：所有形如 m+n 的元素的集合，其中 m∈M, n∈N
线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以 代替M+N 如果,则称M 与N 是代数互补的线性流形
于是有下述定理： 定理2
1 设M,N 是线性空间X 的线性流形，则当且仅当对每个x∈X 都有唯一的表达式 x=m+n, m∈M,n∈N
