泛函分析题1.4线性赋范空间答案

泛函分析题1_4 线性赋范空间20070502 1 泛函分析题1_4 线性赋范空间p39 1.4.1 在2 维空间2 中，对每一点 z = (x, y)，令 || z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4； (1) 求证|| · ||i ( i = 1, 2, 3, 4 )都是2 的范数． (2) 画出(2, || · ||i ) ( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形． (3) 在2 中取定三点 O = (0, 0)，A = (1, 0)，B = (0, 1)．试在上述四种不同的范数下求出OAB 三边的长度． 证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． 设 z = (x, y), w = (u, v)2，s = z + w = (x + u, y + v )， || z ||1 + || w ||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |)  | x + u | + | y + v | = || z + w ||1． ( || z ||2 + || w ||2 )2 = ( ( x 2 + y 2 )1/2 + ( u 2 + v 2 )1/2 )2 = ( x 2 + y 2 ) + ( u 2 + v 2 ) + 2(( x 2 + y 2 )( u 2 + v 2 ))1/2  ( x 2 + u 2 ) + ( y 2 + v 2 ) + 2( x u + y v ) = ( x + u )2 + ( y + v )2 = ( || z + w ||2 )2． 故|| z ||2 + || w ||2  || z + w ||2． || z ||3 + || w ||3 = max(| x |, | y |) + max(| u |, | v |)  max(| x | + | u |, | y | + | v |)  max(| x + u |, | y + v |) = || z + w ||3． || · ||4 我没辙了，没找到简单的办法验证，权且用我们以前学的 Minkowski 不等式(离散的情况，用 Hö lder 不等式的离散情况来证明)，可直接得到． (2) 不画图了，大家自己画吧． (3) OA = (1, 0)，OB = (0, 1)，AB = ( 1, 1)，直接计算它们的范数： || OA ||1 = 1，|| OB ||1 = 1，|| AB ||1 = 2； || OA ||2 = 1，|| OB ||2 = 1，|| AB ||2 = 21/2； || OA ||3 = 1，|| OB ||3 = 1，|| AB ||3 = 1； || OA ||4 = 1，|| OB ||4 = 1，|| AB ||4 = 21/4． 1.4.2 设 c[0, 1]表示(0, 1]...