泰勒公式例题

泰勒公式及无穷小变换的应用 1 泰勒公式及其应用 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 泰勒公式及无穷小变换的应用 2 泰勒公式及其应用 １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义 2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()()( )()()()1!2!fxfxf xf xxxxx ( )000() ()(() )!nnnfxxxo xxn （1） 这里))((0nxxo为佩亚诺型余项 ,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0 时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''nnnxoxnfxfxffxf,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义 2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1n阶的连续导数,则''( )'20000000()()( )()()()()...()( )2!!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxR xn , （2）这里( )nRx 为拉格 朗 日 余项(1)10( )( )()(1)!nnnfR xxxn,其中 在x 与0x之间 ,称（2）为 f 在0x 的泰勒公式. 当0x =0 时,（2）式变成''( )'2(0)(0)( )(0)(0)...( )2!!nnnfff xffxxxR xn 称此式为(带有拉格 朗 日 余项的)麦克劳林公式. 泰勒公式及无穷小变换的应用 3 常见函数的展开式： 12)!1(!!21nxnxxnenxxxe. )()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx. 24622cos1( 1)()2!4!6!(2 )!nnnxxxxxo xn  . )(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx. )(1112nnxoxxxx 2!2)1(1)1(xmmmxx m. 定理2.1]3[ (介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[ba上连续,且 )()(bfaf,若0 为介于 )(af与)(bf之间的任何实数,则至少存在一点0x),(ba,使得 00)(xf. 3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限 为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出. 例 3.1 求极限2240coslimxxxex. 分析...