2024年竞赛中的数学归纳法VIP免费

竞赛中的数学归纳法（一)数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题,如果:①当（)时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么,根据①②对一切正整数时,成立．例1(０7江西理22）设正整数数列满足:，且对于任何，有.(１）求,；(2）求数列的通项．解：（1）据条件得①当时，由，即有,解得.因为为正整数，故．当时，由,解得,所以．(２）由，,,猜想：．下面用数学归纳法证明:１当，时,由(１)知均成立;2假设成立，，则时由①得,,因为时，1,所以．，所以．又，所以，故,即时,成立．由１,2知,对任意,．此题在证明时应注意,归纳奠基需验证的初始值又两个,即和。(2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题,如果①当()时，成立;②假设成立,由此推得时,也成立,那么，根据①②对一切正整数时，成立.例2已知对任意的且,求证：.证：(１）当时，因为且,所以,,命题成立；(2）假设时命题成立,即,当时,因为，所以,且，于是，因为,∴,从而,解得，（舍）,即时2命题成立.由（１）、(2)知,对一切自然数都有成立.证毕.这两种数学归纳法,是运用次数较多的方法,大家也比较熟悉,在这里就不赘述了。下面介绍一下数学归纳法的其它形式。（二）数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当时，成立,②假设时成立，由此推得时,也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立.例3证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形.证:(1）对于可按如图进行分割，假设当成立,当时，只要将其中一个正方形分割为4个正方形,即可得到个正方形.由(1)(２）对一切的自然数都成立.例4求证用面值３分和5分的邮票可支付任何ｎ(n≥８)分邮资．证明显然当n=8,n=９，n＝１０时,可用3分和５分邮票构成上面邮资(n=8时,用一个3分邮票和一个5分邮票,n=9时，用3个３分邮票,n=10时，用2个5分邮票).下面假定k＝n时命题正确，这时对于k=n+３,命题也正确，因为n分可用3分与5分邮票构成，再加上一个３分邮票,就使分邮资可用３分与5分邮票构成．由跳跃归纳法知命题对一切n≥8都成立．下面我们介绍双归纳法，所谓双归纳法是所设命题涉及两个独立的自然数对（m,ｎ),而不是一个单独的自然数n.3(2)反向数学归纳法设是一个与正整数有关的命题,如果①对无限多个正整数成立;②假设时,命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时,成立．例4设都是正数,证明:证:(1）先证明有无限多个正整数，使命题成立.当(对任意的时)，不等式成立,对用数学归纳法.①当时,即，因为,所以即不等式成立.②假设时成立，即；则当时因此时，不等式成立,故对于（对任意的时）命题成立.（2)假定时成立，即,于是当时，有对此式两边同时次方得,即成立，此为时不等式成立.由(1)、(２)知对一切自然数都有.4（3)螺旋数学归纳法设、是两串与自然数有关的命题,如果①命题成立;②对任何自然数,命题成立，则命题成立；若命题成立，则命题成立.那么根据①②对一切自然数，命题与都成立．最后,我们给出跷跷板归纳法.有两个与自然数有关的命题An与Bn，若(1)A１成立;（2)假设Ak成立，就推出Bk成立，假设Ｂｋ成立就推出Ａｋ+1成立.则对一切自然数n,Ａn与Bn都成立.A1Ｂ1A2Ｂ2ＡkＢkAk+1这里我们只给出一个例子说明上述归纳法.例已知求证证明令ﻩﻩ，（１)当n＝1时，所以A1成立．（2）ﻩﻩ所以A2成立．5设Aｋ成立，则即Ｂk成立.若Bk成立，则即Ａk+１成立．由跷跷板归纳法知,一切An和Bn都成立.例5已知数列定义如下：，求证：数列的前项和为.证:将命题记作，将命题记作．（１)当时,有即成立.(2）证假设成立,即有于是故成立．（3)再证假设成立,即有于是6即成立.综上,由螺旋归纳法原理,命题、对一切均成立.(4）二重数学归纳法(两个变量)设命题是与两个独立的自然数有关的命题，如果①对一切自然数成立,对一切自然数成立；②假设和成立时,可推证命题成立．则对所有自然数，命题都成立.例6设满足，其中是正整数,,且,求证:.证:(1）因为对于一切正整数与(）,成立.即此命题为真．(2）假设成立，即成立.则,则命题成立，由二重数学归纳法知,对任意自然数都有(三)数学归纳法在高考中应用例１(０5江西卷）已知数(１)证明（2）求数列的通项公式ａn.解：(１)...