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1数的整除知识点数的整除问题,内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。数的整除1.整除——因数和倍数例如:15÷3=5,63÷７=9一般地,如a、b、ｃ为整数，b≠０，且a÷b＝ｃ，即整数ａ除以整除b(b不等于0）,除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0），我们就说，a能被ｂ整除(或者说b能整除a）。记作b｜a.如果整数ａ能被整数b整除，a就叫做b的倍数,ｂ就叫做a的因数。例如:在上面算式中,15是３的倍数,3是15的因数;6３是７的倍数，７是63的因数。2.数的整除性质性质1：如果a、ｂ都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即:如果c|a,c｜ｂ，那么c|（a±b)。例如:如果2｜1０,２｜6，那么2｜（10+６），并且2|（10—６)。性质2:如果ｂ与c的积能整除a，那么ｂ与c都能整除a.即:如果ｂc|a,那么b｜ａ，ｃ｜a。性质3：如果b、ｃ都能整除a,且b和ｃ互质,那么b与ｃ的积能整除ａ。即:如果b｜a，c｜a,且(ｂ,c）＝1，那么bc|a。例如：如果２｜28,7|２８，且(２,7）=1,那么（2×7)｜28。性质4：如果c能整除b,b能整除ａ,那么c能整除a。即：如果c|ｂ，b|a,那么c｜a。例如：如果３|９，9|27，那么３｜27。3.数的整除特征①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括０).下面“特征”含义相似。②能被5整除的数的特征：个位是０或5。③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3(或9)整除。④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。例如:１８6４=1800＋64，因为1０0是４与25的倍数，所以1800是４与25的倍数.又因为4｜６4,所以１８64能被4整除.但因为2564,所以１864不能被25整除．⑤能被8（或12５)整除的数的特征：末三位数能被8（或2125）整除。例如:29３75=29000＋37５,因为1000是8与12５的倍数,所以2９000是８与12５的倍数.又因为125|３75，所以29３7５能被125整除.但因为8３75,所以8293７5。⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断12３456７８9这九位数能否被１１整除?解:这个数奇数位上的数字之和是9+7＋5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+６+4＋2=20.因为２5—2０=5，又因为115,所以11123４５6789。再例如：判断13５74是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4+5＋1)-(7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜０.因此1３5７4是11的倍数。⑦能被7（11或１3)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7(11或1３)整除。例如：判断1059282是否是7的倍数?解：把10５9２82分为10５9和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777,所以７｜105９2８2.因此１０５92８2是7的倍数。再例如：判断35４６725能否被13整除?解:把35467２5分为3546和725两个数.因为3546－725=2８21.再把2８21分为2和821两个数,因为82１—2=81９,又１３|８１9,所以13｜2８21，进而1３|3546７25.质数和合数１.质数与合数一个数除了１和它本身,不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数)。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数,也不是合数。２.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例:把３０分解质因数。解：30＝2×3×５。其中２、３、５叫做30的质因数。又如12＝2×2×３＝２２×3，２、3都叫做12的质因数。例1三个连续自然数的乘积是2１０,求这三个数.解: ２10=２×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?解:把4０表示为两个质数的和，共有三种形式：340=17＋23＝11+２９＝3＋37。 17×２3=391>11×29＝３1９＞３×37=１1１。∴所求的最大值是39１。答:这两个质数的最大乘积是3９1。例3自然数1234５6789是质数,还是合数？为什么?解：12３４5６789是合数。因为...