学习参考托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.定理提出定理的内容。摘出并完善后的托勒密(Pto 丨 emy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。定理表述:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明一、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。)在任意凸四边形 ABCD 中(如右图),作厶 ABE 使 ZBAE 二 ZCADZABE 二 ZACD,连接 DE.则厶 ABEs^ACD所以 BE/CD 二 AB/AC,即 BE・AC=AB・CD(1)学习参考由厶 ABEs^ACD 得 AD/AC 二 AE/AB,又 ZBAC 二 ZEAD,所以△ABCs^AED.BC/ED=AC/AD,即 ED・AC=BC・AD(2)⑴+⑵,得AC(BE+ED)=AB・CD+AD・BC又因为 BE+EDMBD(仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”)复数证明用 a 、 b 、 c 、 d 分 别 表 示 四 边 形 顶 点 A 、 B 、 C 、 D 的 复 数 , 则AB、CD、AD、BC、AC、BD 的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式:(a 一 b)(c 一 d)+(a 一 d)(b 一 c)=(a一 c)(b-d),两边取模,运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与 A、B、C、D 四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上,托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、设 ABCD 是圆内接四边形。在弦 BC 上,圆周角 ZBAC=ZBDC,而在 AB 上,ZADB=ZACBo 在 AC 上取一点 K,使得 ZABK=ZCBD;因为 ZABK+ZCBK=ZABC=ZCBD+ZABD,所以ZCBK=ZABDo 因此△ABK 与△DBC 相似,同理也有厶 ABD~△KBCo 因此 AK/AB=CD/BD,且CK/BC=DA/BD;因此 AK・BD=AB・CD,且 CK・BD=BC・DA;两式相加,得(AK+CK)・BD=AB・CD+BC・DA;但 AK+CK=AC,因此 AC・BD=AB・CD+BC・DA。证毕。三、...