珍藏初中数学竞赛中最值问题求法应用举例

初中 数学 初中数学竞赛辅导专题（三） 初中数学竞赛中最值问题求法应用举例 最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下： （一）根据非负数的性质求最值。 1、若M =（X±a）2 +b ，则当 X±a = 0时 M有最小值b 。 2、若M = －（X±a）2 + b ,则当 X±a = 0 时 M有最大值b 。 3、用（a±b）2≥0 ，∣a∣≥0,a ≥0的方法解题。 【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】 例题（1）、若实数a ，b ，c 满足 a2 + b2 + c2 = 9，则代数式 （a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是 （ ） A．27 B、 18 C、15 D、 12 解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2= 2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca) =3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . a2+b2+c2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为 0 。当且仅当 a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。 【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a2＋b2＋c2)后用完全平方式。】 例题（2）、如果对于不小于 8的自然数N ，当 3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成 K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 解：设 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X2 （N≥ 8），则 3不能整除 X，所以 X可以表示成 3P±1的形式。3N＋1=（3P±1）2= 9P2±6P+1=3X2±2X+1=X2+X2+（X±1）2。即 3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以K的最小值为 3 。选 C 。 【说明，本例的关键是如何把 3X2拆成 X2＋X2＋X2，然后配方求解。】 例题（3）、设 a、b为实数，那么 a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。 解：a2＋ab＋b2－a－2b = a2＋(b－1)a＋b2－2b = a2＋(b－1)a＋( 21b)2＋ 43 b2－ 23 b－ 41 =(a＋21b)2＋ 43 (b－1)2－1 ≥ －1 。只有当 a＋21b= 0且 b－1= 0 时，即 a=0，b=1时取等号。所以原式的最小值是－1。 【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】 例题（4）、已知实数a、b满足 a2＋ab＋b2=1 ，则 a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是———————— 。 解：设 a2－ab＋b2 = K,与 a2＋...