球面三角形的面积与欧拉公式

1 §6 球面三角形的面积与欧拉公式 问题提出 如何计算球面三角形的面积？球面三角形面积与平面三角形面积有什么区别？ 如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？ 如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式？ 6 .1 球面二角形与三角形的面积 我们知道，若球面半径为 R，则球面面积为24SR，现在考虑球面上的一个小区域：球面上由两个大圆的半周所围成的较小部分叫做一个球面二角形。 P'POSBA 如图所示，大圆半周 PAP和 PBP  所围成的阴影部分就是一个球面二角形。显然 P 和P 是对径点，大圆半周'PAP和'PBP  称为球面二角形的边。球面角PP 称为球面二角形的夹角。如果大圆弧 AB 以 P 和 P 为极点，AB 所对的球心角为，则PP =。 例1 计算地球上一个时区所占有的面积。 SNBAO 解 如图所示，设 O 为地心，N、S 为北极点和南极点，A、B 为赤道上两点，且15AOB ，地球半径为 R=6400km ， 2 根据地理知识，地球共分为24 个时区，一个时区跨越地球表面15 ，所以由经线NAS与经线NBS围成的二角形就是一个时区，它所占面积为地球表面积的15136024， 即 22241640021446605.85246Rkm 如何计算一般球面二角形的面积？ 1． 二角形的夹角 ，就是平面PA P 与PB P 所夹的二面角的平面角； 2． 这个二角形可以看成半个大圆PAP绕直径PP 旋转 角所生成； 3． 球面二角形的面积与其夹角成比例。 设这个二角形得面积为U ，则 42U 即 2U 抽象概括 球面上，夹角为 的二角形的面积为2U。 如何计算球面三角形的面积？ 设()S ABC 表示球面三角形ABC 的面积， 1． 对球面三角形ABC，分别画出三条边所在的大圆。 2． 设A、B、C 的对径点分别是ABC、、，则 ()()2S ABCS A BCA  3 3． 球面三角形ABC +球面三角形A BC+球面三角形ABC +球面三角形A BC 构成半个球面，所以 ()S ABC + ()S A BC+ ()S ABC + ()S A BC =2(1) 又因为 ()()2()()2(2)()()2S ABCS A BCAS ABCS AB CBS ABCS ABCC    所以(2)(1)得到 2 ()2()2S ABCABC 抽象概括 定理6 .1 球面三角形的面积等于其内角和减去 。球面三角形的三个内角和大...