第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法

韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案 教案编写人:李承耕李万军 1 第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4 课时） 一、 目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理 3.6 我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dYAYdx  (3.20) 韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案 教案编写人:李承耕李万军 2 其中A是nn 实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一 nn 矩阵A，恒存在非奇异的nn 矩阵T ，使矩阵1TAT成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 YTZ (3.21) 其中( )( ,1, 2,, ),ijTti jn det0T ,将方程组(3.20)化为 1dZTATZdx (3.22) 我们知道，约当标准型1TAT的形式与矩阵A 的特征方程 111212122212det()0nnnnnnaaaaaaAEaaa 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A的特征根. 韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案 教案编写人:李承耕李万军 3 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵 A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n  这时 12100nTAT  方程组(3.20)变为 11122200nnndzdxzdzzdxzdzdx         (3.23) 易见方程组(3.23)有 n 个解 1110( ),00xZ xe         220010( ),,( )0001nxxnZxeZxe                 韩山师范学院数学系常微分方程...