第 五章 定积分及其应用 【内容提要 1．定积分的概念和性质 （1）定积分的定义 设 )(xf 是定义在 [ , ]a b 上的函数，在区间 [ , ]a b 内任意插入 1n 个 分点0121,nnaxxxxxb将其分成 n 个小区间。 记1(1,2,, )iiixxxin，max{}ix ，在每个小区间上任取一点 1[,]iiixx，下列和式的极限01lim( )niiifx存在，且与小区间的划分及 i 的选取无关，则称函数 )(xf 在 [ , ]a b 上可积，并称该极限值为 )(xf 在 [ , ]a b 上的定积分 ，记作( ) dbaf xx，即01( ) dlim( ) dnbiiaif xxfxx，其中 )(xf 称为被积函数，( ) df xx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[ , ]a b 称为积分区间。 （2 ）定积分的性质 1）常数因子可以提到积分号外 ( )d( )dbbaakf x xkf x x （k 为常数）。 2）函数代数和的积分等于它们积分的代数和。 [ ( )( )]d( )d( )dbbbaaaf xg xxf x xg x x 3）对任意单个实数 , , ,a b c 恒有( )d( )d( )dbcbaacf x xf x xf x x。 4）若在区间 [ , ]a b 上，被积函数 ( )f xK，那么 ( )ddd()bbbaaaf x xK xKxK ba 特别地，当 1K 时，( )ddbbaaf x xK xba 5）如果在区间 [ , ]a b 上， ( )( )f xg x，则 ( )d( )dbbaaf x xg x x (ab)。 6）记函数 ( )f x 在闭区间 [ , ]a b 上的最大值和最小值分别为 M 和 m ，则 ()( )d()bam baf x xM ba 7）设函数 ( )f x 在闭区间 [ , ]a b 上连续，则在区间 [ , ]a b 上至少存在一点 ，使得 ( )d( )()baf x xfba 2.定积分的计算 （1）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数)(xf在区间],[ba上连续，且)(xF是)(xf的任意一个原函数，那么 ( )d( )( )baf xxF bF a。 （2）定积分的换元法 设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且满足下列条件： （1） )(tx，且)(a，)(b； （2）)(t在区间],[上单调且有连续的导数)(t； （3）当t 从 变到 时，)(t从a 单调地变到b 。 则有 ( )d( ( ))( )dbaf xxfttt （3）定积分的分部积分法 设函...
