2热传导方程的初值问题

1 §2 热传导方程的初值问题 一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题) xxxutxtxfxuatu),()0,(0,),,(222 （2.1） 偏导数的多种记号xxxtuxuuxuutu22,,. 问题(2.1)也可记为 xxxutxtxfuauxxt),()0,(0,,),(2. 2.1 Fourier 变换 我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)( xff 是定义在),(上的函数, 且对任意AB，( )f x 在[ ,]A B 上可积，若积分dxxf)(收敛,则称)( xf在),(上绝对可积。 将),(上绝对可积函数形成的集合记为),(1L或),(L， 即dxxffLL)(|),(),(1 ，称为可积函数空间. 连续函数空间: ),(上全体连续函数构成的集合,记为),(C, 上连续在 ),(|),(ffC， 上连续在 ),(,|),(1fffC。 定义2.1 若),( Lf,那么积分 ),(ˆ)(21fdxexfxi (2.2) 有意义,称为Fourier 变换, )(ˆ f称为)( xf的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). dxexffFfxi)(21)(ˆ)( 定理 2.1 (Fourier 积分定理)若),(),(1CLf,那么我们有 2 ),()(ˆ21limxfdefNNxiN (2.3) 公式(2.3)称为反演公式.左端的积分表示取Cau chy 主值. 通常将由积分)()(21xgdegxi所定义的变换称为Fou rier 逆变换. 因此(2.3)亦可写成  ffˆ 即一个属于),(),(1CL的函数作了一次 Fou rier 变换以后,再接着作一次Fou rier 逆变换,就回到这个函数本身. 在应用科学中经常把)(ˆ f称为)( xf的频谱.Fou rier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具. 定理 2.1 的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>) 定理 2.2 设),( Lf，dxexffxi)(21)(ˆ，则)(ˆ f是有界连续函数,且 .0)(ˆlimf 在运...