《椭圆》方程典型例题 1 《椭圆》方程典型例题 20 例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为02 ,A,其长轴长是短轴长的2 倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当02 ,A为长轴端点时,2a,1b, 椭圆的标准方程为:11422 yx; (2)当02 ,A为短轴端点时,2b,4a, 椭圆的标准方程为:11 6422 yx; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 解:31222 cac ∴223ac , ∴3331 e. 说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求a ,求c,再求比.二是列含a 和c的齐次方程,再化含e的方程,解方程即可. 典型例题三 例3 已知中心在原点,焦点在 x轴上的椭圆与直线01 yx交于 A、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为1222 yax, 由101222yaxyx,得021222xaxa, ∴222112aaxxxM,2111axyMM, 《椭圆》方程典型例题 2 4112 axykMMOM,∴42 a, ∴1422 yx为所求. 说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 典型例题四 例 4 椭圆192 522 yx上不同三点11yxA,,594 ,B,22yxC,与焦点 04 ,F的距离成等差数列. (1)求证821 xx; (2)若线段 AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k . 证明:(1)由椭圆方程知5a,3b,4c. 由圆锥曲线的统一定义知:acxcaAF12, ∴ 11545xexaAF. 同理 2545xCF. BFCFAF2,且59BF, ∴ 51 854554521 xx, 即 821 xx. (2)因为线段 AC 的中点为2421yy,,所以它的垂直平分线方程为 42212121xyyxxyyy. 又 点T 在 x轴上,设其坐标为00,x,代入上式,得 212221024xxyyx 《椭圆》方程典型例题 3 又 点11yxA,,22yxB,都在椭圆上, ∴ 21212 52...