抛物线典型例题12例含标准答案

《抛物线》典型例题《抛物线》典型例题 12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1） x2  4y（2） x  ay 2(a  0)分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）p  2，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是： y  1（2）原抛物线方程为： y2  11a x ，2 p  a①当 a  0时， p2  14a ，抛物线开口向右，∴焦点坐标是( 14a ,0) ，准线方程是： x   14a ．②当 a  0 时， p2   14a ，抛物线开口向左，∴焦点坐标是( 14a ,0) ，准线方程是： x   14a ．综合上述，当 a  0时，抛物线 x  ay 2的焦点坐标为( 14a ,0) ，准线方程是：x   14a ．典型例题二例 2 若直线 y  kx  2 与抛物线 y 2  8x 交于 A、 B 两点，且 AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k．解法一：设 A(xB(xy  kx  21, y1)、2, y2) ，则由： y2  8x可得：k 2x2  (4k  8)x  4  0． 直线与抛物线相交，k  0 且   0，则 k  1．1《抛物线》典型例题 AB 中点横坐标为： x1  x242k 8k 2 2 ，解得： k  2或 k  1（舍去）．故所求直线方程为： y  2x  2 ．解法二：设 A(x21, y1)、 B(x2, y2) ，则有 y1  8x1y 22  8x2．两式作差解：(yy1  y21  y2)(y1  y2)  8(x1  x2) ，即 x8 y ．1  x2y12x1  x2  4  y1  y2  kx1  2  kx2  2 k(x1  x2 )  4 4k  4 ，k 84k  4 故 k  2或 k  1（舍去）．则所求直线方程为： y  2x  2 ．典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．分析：可设抛物线方程为 y2  2px( p  0) ．如图所示，只须证明 AB2 MM1 ，则以 AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切．证明：作 AA1  l 于 A1, BB1  l 于 B1 ．M 为 AB...