《线性代数》课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式 习题1 .1 1 . 证明：（1 ）首先证明)3(Q是数域。 因为)3(QQ ，所以)3(Q中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Qbaba，我们有 3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211baabbbaabababbaabababbaababa。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 )3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211QbaabbbaababaQbbaababaQbbaababa。 如果0322 ba，则必有22 ,ba不同时为零，从而0322 ba。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Qbabaabbabbaababababababa。 综上所述，我们有)3(Q是数域。 （2 ）类似可证明)(pQ是数域，这儿 p是一个素数。 （3 ）下面证明：若qp,为互异素数，则)()(qQpQ。 （反证法）如果)()(qQpQ，则qbapQba,，从而有 qabqbapp2)()(222。 由于上式左端是有理数，而 q是无理数，所以必有02qab。 所以有0a或0b。 如果0a，则2qbp，这与qp,是互异素数矛盾。 如果0b，则有ap ，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(qQpQ。 同样可得)()(pQqQ。 （4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q 和 之间存在无穷多个不同的数域。 2. 解：（1）)1( P是数域，证明略（与上面类似）。 （2）)1( Q就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。 而)1()1(C复数域。 （3）)1( Z不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如)1(21 Z。 3. 证明：（1）因为KF,都是数域，所以KQFQ,，从而KFQ。故KF 含有两个以上的复数。 任给三个数KFcKFba0,,，则有Fcba,,且Kcba,,。因为KF,是数域，所以有Fcaabba,,且Kcaabba,,。所以KFcaabba,,。 所以KF 是数域。 （2）KF 一般不是数域。例如)3(),2(QKQF，我们有KF 3,2，但是KF 326。 习题 1 .2 2. 解：项651456423123aaaaaa的符号为)312645()234516()1( 习题 1 .3 1．证明：根据行列式的定义1 111 111 11=1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjn jj jja aa1ija  ...