整理极限运算法则两个重要极限

精品文档复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限2．3 极限的运算法则2．3．1 极限的性质定理 1 ：（唯一性）如果极限讲述我们先介绍极限的运算法则证明从略。lim f (x) 存在，则它只有一个极 限。即若lim f (x)  A ，lim f (x)  B ，则 A  B定理 2 ： （有界性）若极限 lim域内有界定理 3 ： （局部保号性）如果在 x0 的某一空心邻域内，有推 论若 在xx0xx0f (x) 存在，则函数 f (x) 在 x0 的某一空心邻，则lim f (x)  A，并且 A  0（或 A  0 ）以上性质只对 x  x0f (x)  0 （或 f (x)  0 ） 。f (x)  0 （ 或的情况加以叙述，其它的 形 式 也 有 类 似 的 结果。x0 的 某 一 空 心 邻 域 内 有f (x)  0 ）， 且xx0lim f (x)  A，则 A  0 （或 A  0 ） 。2．3．2 极限的运算法则定理 1：设lim(1)(2)f (x)  A ,lim g(x)  B ,则lim[ f (x)  g(x)] =lim f (x)  lim g(x)  A  Blim[ f (x)g(x)]  lim f (x)lim g(x)  A B C .(常数),则lim[Cf (x)]  C lim f (x)  CA若 g(x)(3)f (x)lim f (x)Alim(B  0)g(x)lim g(x)B证明 因为lim f (x)  A ,lim g(x)  B ，利用 2。2 定理，它们可以分别写为:f (x) = A   (x) , g(x)  B   (x)其中(x),(x) 均为无穷小量，则有：(1) f (x) + g(x) =A+B+[(x)  (x) ]精品文档精品文档由 2．2 定理知(x)  (x) 仍为无穷小量,所以即lim[f (x) + g(x) 以 A+B 为极限.设 P(x) 为多项式当 xf (x)  g(x)]=lim f (x)  lim g(x)  A  B .xx0 x0 时，容易证明： lim P(x)  P(x0)limQ(x0 )  0因 为P(x)P(x0)xx0Q(x)Q(x0 )2f (x) 为 多 项式，所以极限值等于在例 1 求lim(3xx2 x  5)x0处的函数值因为 f (x) 为两个多项解 lim(3x 2  x  5) ＝15x2式商的极限，且在 x=1处分母的极限不为零，所 以 极 限 值 等 于 函 数值。在 x=-1 处，分母为零，不能直接计算极限。在 x=-1 处，分母为零，不能直接...