托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)在任意四边形 ABCD 中，作△ABE 使 ZBAE=ZCADZABE=ZACD因为△ABEs^ACD所以 BE/CD=AB/AC,即卩 BE・AC=AB・CD(1)而 ZBAC=ZDAE,,ZACB=ZADE所以△ABCS^AED 相似.BC/ED=AC/AD 即 ED・AC=BC・AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB・CD+AD・BC又因为 BE+EDnBD(仅在四边形 ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)所以命题得证复数证明用 a、b、c、d 分别表示四边形顶点 A、B、C、D 的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到：(a?b)(c?d)+(a?d)(b?c)=(a?c)(b?d)，两边取，运用得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、B、C、D 四点共圆等价。四点不限于同一。平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。二、设 ABCD 是。在 BC 上,ZBAC=ZBDC，而在 AB 上,ZADB=ZACB。在 AC 上取一点 K，使得 ZABK=ZCBD；因为 ZABK+ZCBK=ZABC=ZCBD+ZABD，所以 ZCBK=ZABD。因此△ABK 与△DBC,同理也有厶 ABD~△KBCo 因此 AK/AB=CD/BD,且 CK/BC=DA/BD；因此 AK・BD=AB・CD,且 CK・BD=BC・DA；两式相加，得(AK+CK)・BD=AB・CD+BC・DA；但 AK+CK=AC,因此 AC・BD=AB・CD+BC・DA。证毕。三、托勒密定理：圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).已知：圆内接四边形 ABCD,求证：AC・BD=AB・CD+AD・BC.证明：如图 1,过 C 作 CP 交 BD 于 P,使 Z1=Z2,又 Z3=Z4,△ACDs^BCP.得 AC：BC=AD：BP,AC・BP=AD・BC①。又 ZACB=ZDCP,Z5=Z6,・••△ACBs^DCP.得 AC：CD=AB：DP,AC・DP=AB・CD②。①+② 得AC(BP+DP)=AB・CD+AD・BC.即 AC・BD=AB・CD+AD・BC.推论1•任意 ABCD,必有 AC・BDSAB・CD+AD・BC,当且仅当 ABCD 时取等号。2.托勒密定理的同样成...
