三角形心的性质及应用VIP专享

精品文档---下载后可任意编辑三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例 1．过等腰△ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM∥CA 交 AB 于 M；引 PN∥BA 交 AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P′.试证：P′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得 MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故点 M 是△P′BP 的外心，点N 是△P′PC∠BP′P=12 ∠BMP=12 ∠BAC，∠PP′C=12 ∠PNC=12 ∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. 从而，P′点与 A，B，C 共圆、即 P′在△ABC 外接圆上. 由于 P′P 平分∠BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC.例 2．在△ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设 O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ 的外心，作出六边形O1PO2QO3S 后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3绕着 O3点旋转到△KSO3，易推断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=12 ∠O2O1K =12 (∠O2O1S+∠SO1K) =12 (∠O2O1S+∠PO1O2) =12 ∠PO1S=∠A； 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.二、重心条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题.例 3．AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第 26 届莫斯科数学奥林匹克)分析：设 G 为△ABC 重心，直线 PG 与 AB，BCA，C，D，E，F 分别作该直线的垂线，垂足为 A′，C′，D′，E′，F′. 易证 AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，∴EE′=DD′+FF′. 有 S△PGE=S△PGD+S△PGF. 两边各扩大 3 倍，有 S△PBE=S△PAD+S△PCF.例 4．假如三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线 AD，BE，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连 DE 到 H，使 EH=DE，连 HC，HF，则△′就是△HCF. (1)a2，b2，c2成等差数列△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设 a≥b≥c，有CF=12 √2a2+2b2−c2...