不定积分与定积分

精品文档---下载后可任意编辑4.1 不定积分一、学时：二、教学要求：不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。不定积分的求法；（1）理解原函数、不定积分的定义及关系；（2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算；（3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法；（4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、第二换元法，分部积分法难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法三、教学内容：第二章讨论了如何求一个函数的导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数（微分），求原来的函数问题，即求不定积分.不定积分的概念与性质定义 1 设f ( x)是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数F( x),对于该区间上每一点都满足：F' ( x)=f ( x)或dF( x)=f ( x)dx,则称F( x)是f ( x)在该区间的一个原函数.例如已知f ( x)=2 x ,由于F( x)=x2满足F' ( x)=(x2)'=2 x ,所以F( x)=x2是f ( x)=2 x 的一个原函数. 同理，x2+1, x2−1, x2+10 等也都是f ( x)=2 x 的原函数.由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若F( x)是f ( x)的一个原函数，则F( x)+C (C为任意常数)也是f ( x)的原函数.且若F( x),G( x)都是f ( x)的原函数则(F(x)−G(x))′=F'(x )−G'(x )=f (x)−f (x)=0 ，知F( x)−G( x)=C ,即它们仅相差一个常数.因此，若F( x)是f ( x)的一个原函数，则f ( x)的所有原函数可以表示为F( x)+C (C是任意常数).定义 2 函数f ( x)的所有原函数，称为函数f ( x)的不定积分，记作∫f ( x)dx其中f ( x)称为被积函数，f ( x)dx 称为被积表达式，称为积分变量，“∫ ”称为积分号.显然，若F( x)是f ( x)的一个原函数，则由定义 2 可知∫ f ( x)dx=F( x)+C其中 C 是任意常数.因此，求函数f ( x)的不定积分，只需求出f ( x)的一个原函数F( x),再加上任意常数 C 即可. 例如∫3 x2dx=x3+C (C为任意常数)∫sin xdx=−cos x+C (C为任意常数)∫ exdx=e x+C (C为任意常数)例 1 求函数f ( x)=1x 的不定积分解（1）当x>0 时，(ln x)'=1x所以∫ 1x dx=ln x+C(x>0)（2）当x<0时，−x>0[ln (−x)]′ x= 1−x .(−x)'=1x精品文档---下载后可任意编辑...