精品文档---下载后可任意编辑第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.1.集合与恰有一个公共元为正数，则．2.若函数在区间上递增，则的取值范围是___________.，且，则的最大值为________.中，已知，，且，，成等差数列，，，成等比数列，.那么，_________.5. 已知点是空间直角坐标系内一定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体的体积的最小值为．中，角的对边为，，，又知，则的面积为．7.已知过两抛物线，的交点的各自的切线互相垂直，则实数 a 的值为．既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设是集的元子集，且中任两数皆是“联盟”数对，则的最大值为．二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.9. （本小题满分 16 分）设数列满足．求证：（1）当时，严格单调递减．（2）当时，，这里．10.（本小题满分 20 分）设椭圆与抛物线有一个共同的焦点，为它们的一条公切线，、为切点，证明： ．11. （本小题满分 20 分）求证：（1）方程恰有一个实根，并且是无理数；（2）不是任何整数系数二次方程的根．2024 年全国高中数学联赛模拟试题 04加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分 40 分）如图，在锐角中，、分别是边、的中点，的外接圆与的外接圆交于点（异于点），的外接圆与的外接圆交于点（异于点）。求证：.二、（本小题满分 40 分）求所有素数，使得三、（本小题满分 50 分）设 n 是一个正整数，是 4n－1 个正实数，使得．令，证明：．四、（本小题满分 50 分）n 个棋手参加象棋竞赛，每两个棋手竞赛一局．规定胜者得 1 分，负者得 0 分，平局各得 0.5 分．假如赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜了其余 m－1 个棋手，也有一个棋手输给了其余 m－1 个棋手，就称此赛况具有性质P（m）．对给定的 m（m≥4），求 n 的最小值 f（m），使得对具有性质 P（m）的任何赛况，都有所有 n 名棋手的得分各不相同．2024 年全国高中数学联赛模拟试题 04第一试参考解答一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.1.集合与恰有一个公共元为正数，则．解：由于，故．由知，又因为，所以即故只能是，这样，，得2.若函数在区间上递增，则的取值范围是___________.解：（ⅰ）当时，只需，解得.（ⅱ）当时，只需，解得.综上，的取值范围是.，且，则的最大值为________....
