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全国高中数学联赛模拟试题04

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精品文档---下载后可任意编辑第一试(时间:8:00-9:20 满分:120)一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.1.集合与恰有一个公共元为正数,则.2.若函数在区间上递增,则的取值范围是___________.,且,则的最大值为________.中,已知,,且,,成等差数列,,,成等比数列,.那么,_________.5. 已知点是空间直角坐标系内一定点,过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点,则所有这样的四面体的体积的最小值为.中,角的对边为,,,又知,则的面积为.7.已知过两抛物线,的交点的各自的切线互相垂直,则实数 a 的值为.既不互质,又不存在整除关系,则称是一个“联盟”数对;设是集的元子集,且中任两数皆是“联盟”数对,则的最大值为.二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.9. (本小题满分 16 分)设数列满足.求证:(1)当时,严格单调递减.(2)当时,,这里.10.(本小题满分 20 分)设椭圆与抛物线有一个共同的焦点,为它们的一条公切线,、为切点,证明: .11. (本小题满分 20 分)求证:(1)方程恰有一个实根,并且是无理数;(2)不是任何整数系数二次方程的根.2024 年全国高中数学联赛模拟试题 04加试(时间:9:40-12:10 满分:180)一、(本小题满分 40 分)如图,在锐角中,、分别是边、的中点,的外接圆与的外接圆交于点(异于点),的外接圆与的外接圆交于点(异于点)。求证:.二、(本小题满分 40 分)求所有素数,使得三、(本小题满分 50 分)设 n 是一个正整数,是 4n-1 个正实数,使得.令,证明:.四、(本小题满分 50 分)n 个棋手参加象棋竞赛,每两个棋手竞赛一局.规定胜者得 1 分,负者得 0 分,平局各得 0.5 分.假如赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜了其余 m-1 个棋手,也有一个棋手输给了其余 m-1 个棋手,就称此赛况具有性质P(m).对给定的 m(m≥4),求 n 的最小值 f(m),使得对具有性质 P(m)的任何赛况,都有所有 n 名棋手的得分各不相同.2024 年全国高中数学联赛模拟试题 04第一试参考解答一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.1.集合与恰有一个公共元为正数,则.解:由于,故.由知,又因为,所以即故只能是,这样,,得2.若函数在区间上递增,则的取值范围是___________.解:(ⅰ)当时,只需,解得.(ⅱ)当时,只需,解得.综上,的取值范围是.,且,则的最大值为________....

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