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全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

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精品文档---下载后可任意编辑一、填空题、若三位数是一个平方数,并且其数字和也是一个平方数,则称为超级平方数,这种超级平方数的个数是.、函数的最大值是.、直线过点,若它被两平行线与所截得的线段长为,则直线的方程为.、.、满足的实数的取值范围是.、若实数,且,则的取值范围是 .、在前一万个正整数构成的集合中,被除余,并且被除余,被除余的元素个数是.、如图,正四面体的各棱长皆为,分别是棱的中点,以为圆心,为半径,分别在面内作弧,并将两弧各分成五等分,分点顺次为以及,一只甲虫欲从点出发,沿四面体表面爬行至点,则其爬行的最短距离为.二、解答题、正整数数列满足:;证明:数列的任何两项皆互质. 、(分)为锐角三角形的垂心,在线段上任取一点,延长到,使,作,,其中为垂足,是线段的中点,分别为的外接圆圆心,的另一交点为;证明:、四点共圆; 、四点共圆;、对于任意给定的无理数及实数,证明:圆周上至多只有两个有理点(纵横坐标皆是有理数的点).、从集合中删去个数,使得剩下的元素中,任两个数之和都不是的因数,求的最小值.2024 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题、若三位数是一个平方数,并且其数字和也是一个平方数,则称为超级平方数,这种超级平方数的个数是.答案:个.解:可顺次列举出:.、函数的最大值是.答案:.解:,其定义域为,当时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值达最大,其值为.、直线过点,若它被两平行线与所截得的线段长为,则直线的方程为.答案:或者.解:设的方程为,将此方程分别与及联立,解得交点坐标与,据,得,即,所以,,分别代入所设方程,得到或者.、.答案:.NO2O1GDFMHABCE精品文档---下载后可任意编辑解:.、满足的实数的取值范围是.答案:.解:用图像法:令,此为单位圆的上半圆,它与直线交点,半圆位于交点左侧的图像皆在直线上方;或者三角函数代换法:因,令,则,由条件式,平方得,则,又有,因此.、若实数,且,则的取值范围是 .答案:.解:因,所以,,则,因非负,于是,从而由知,,得到,(当时取得等号)再由,,则,所以,于是,(当时取得等号),所以.、在前一万个正整数构成的集合中,被除余,并且被除余,被除余的元素个数是.答案:个.解:对于每个满足条件的数,数应当被除皆余,且为偶数;因此,应当是的公倍数,且为奇数;即是的奇倍数,而当时,,由于在中,共有个数是的倍数,其中的奇倍...

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