精品文档---下载后可任意编辑在科学讨论与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数f ( x)的一些样点，选定一个便于计算的函数ϕ( x)形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数ϕ( x)作为f ( x)的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小
这类方法称为曲线（数据）拟合法
设已知函数在区间[a,b]上的n+1 个相异点处的函数值，要求构造一个简单函数作为函数的近似表达式，使得(2-1)这类问题称为插值问题
称为被插值函数；为插值函数；x0,⋯,xn为插值节点；(2-1)为插值条件
若插值函数类是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值
若是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值
若是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值
§1 Lagrange 插值1
1 Lagrange 插值多项式设函数在n+1 个相异点上的值f i=f ( xi),i=0,1,⋯,n是已知的，在次数不超过的多项式集合中，求使得(2-2)定理 2
1 存在惟一的多项式Ln∈ Pn满足插值条件(2-2)
证明我们采纳构造性的证明方法
假如我们能够构造出次多项式，使得(2-3)那么Ln(x )=∑i=0nf ili( x)(2-4)是满足插值条件(2-2)的插值多项式
余下的问题就是如何构造出满足式(2-3)的次多项式
由于当i≠ j 时，，即是的零点，因此必定具有形式¿ j≠i ¿ ¿ ¿n ¿又因li(
