精品文档---下载后可任意编辑在科学讨论与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数f ( x)的一些样点，选定一个便于计算的函数ϕ( x)形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数ϕ( x)作为f ( x)的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。设已知函数在区间[a,b]上的n+1 个相异点处的函数值，要求构造一个简单函数作为函数的近似表达式，使得(2-1)这类问题称为插值问题。称为被插值函数；为插值函数；x0,⋯,xn为插值节点；(2-1)为插值条件。若插值函数类是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。若是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。若是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数在n+1 个相异点上的值f i=f ( xi),i=0,1,⋯,n是已知的，在次数不超过的多项式集合中，求使得(2-2)定理 2.1 存在惟一的多项式Ln∈ Pn满足插值条件(2-2)。证明我们采纳构造性的证明方法。假如我们能够构造出次多项式，使得(2-3)那么Ln(x )=∑i=0nf ili( x)(2-4)是满足插值条件(2-2)的插值多项式。余下的问题就是如何构造出满足式(2-3)的次多项式。由于当i≠ j 时，，即是的零点，因此必定具有形式¿ j≠i ¿ ¿ ¿n ¿又因li( xi)=1，故¿ j≠i ¿¿¿n¿，因此¿ j≠i ¿¿¿n ¿(2-5)多项式Ln(x )的惟一性是极其简单的事实，只要注意到次多项式只有n+1 个零点这一事实。□公式Ln(x )=∑i=0nf ili( x)称为 Lagrange 插值公式，相应的Ln(x )称为 Lagrange 插值多项式，称为节点x0,⋯,xn上的次插值基函数。令，由插值多项式的存在惟一性可得(2-6)由(2-6)知，任取，那么均可用线性表出。由此看出，就是。在(2-6)中取，则。为了今后的需要，我们引入以下记号ωn+1( x)=∏j=0n( x−x j)(2-7)容易求得ωn+1'( x)=∑¿n¿n¿¿及¿ j≠k ¿¿¿n ¿将其代入插值基函数的表达式¿ j≠i ...
