精品文档---下载后可任意编辑教学目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。教学时数：12 学时§ 1 幂级数（ 4 时）幂级数的一般概念. 型如和的幂级数 . 幂级数由系数数列唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一. 一. 幂级数的收敛域: 1. 收敛半径、收敛区间和收敛域：Th 1 （Abel）若幂级数在点收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散.证收敛, {}有界. 设||, 有 |, 其中..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构. 定义幂级数的收敛半径 R. 收敛半径 R 的求法. Th 2 对于幂级数, 若, 则ⅰ>时,;ⅱ>时; ⅲ>时.证, ( 强调开方次数与的次数是一致的).……精品文档---下载后可任意编辑由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间: . 幂级数的收敛域: 一般来说 , 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.例 1 求幂级数的收敛域 . 例 2 求幂级数的收敛域 . 例 3 求下列幂级数的收敛域:⑴; ⑵. 2. 复合幂级数: 令, 则化为幂级数.设该幂级数的收敛区间为，则级数的收敛区间由不等式 确定.可相应考虑收敛域. 特称幂级数为正整数)为缺项幂级数 .其中. 应注意为第项的系数 . 并应注意缺项幂级数 并不是复合幂级数 , 该级数中,为第项的系数 . 例 4 求幂级数的收敛域 . 解是缺项幂级数 . . 收敛区间为. 时,通项. 因此 , 该幂级数的收敛域为.例 5 求级数的收敛域 .精品文档---下载后可任意编辑解 令, 所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散性结果, 当且仅当时级数收敛. 因此当且仅当, 即时级数收敛. 所以所论级数的收敛域为.例 6 求幂级数的收敛半径 .解 . 二． 幂级数的一致收敛性： Th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛 .证, 设, 则对, 有, 级数绝对收敛, 由优级数判别法, 幂级数在上一致收敛. 因此 , 幂级数在区间内闭一致收敛.Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或)收敛,则幂级数在区间( 或)上一致收敛 .证. 收敛 , 函数列在区间上递减且一致有...
