精品文档---下载后可任意编辑一、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面讨论积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要讨论它的计算问题,而对反常积分, 主要讨论它的收敛问题.1、 一元函数的反常积分(1) 一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间[a,b ]或有限闭区域，假如将积分区间[a,b ]换成无限区间[a,+∞)或非闭区间(a,b]（是被积函数的瑕点）或(a,+∞ )，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间[a,b ]换成无限区间[a,+∞)或非闭区间(a,b]（是被积函数的瑕点,即函数f ( x)在点处无界）.定义 1 函数f ( x)在无限区间[a,+∞)连续，则定义∫a+∞ f ( x)dx= limA→+∞∫aA f ( x)dx，假如极限limA→+∞∫aA f ( x)dx存在，我们称反常积分∫a+∞f (x)dx收敛.定义 2 函数f ( x)在非闭区间(a,b]连续，而在点右邻域内无界（是被积函数f ( x)的瑕点）即函数在点无界，则定义∫ab f ( x)dx=limε →0+∫a+εbf ( x)dx =limk→a+∫kb f ( x)dx,假如极限limε →0+∫a+εbf ( x)dx存在，我们称反常积分∫abf (x)dx收敛.函数f ( x)在点右邻域内无界的意思是：limx→a+ f ( x)=∞.注意: 函数在点没有定义,但函数f ( x)在点右极限limx→a+ f ( x)可以存在,这时不是被积函数f ( x)的瑕点.例如,函数sin xx在点处没有定义,但limx→0+sin xx=1,所以x=0 不是积分∫01 sin xxdx 的瑕点. ∫01 sin xxdx不是反常积分. 将积分∫01 sin xxdx看作推广的黎曼积分. 因为, 假如被积函数f ( x)在闭区间[a,b ]上仅有有限个第一类间断点, 则积分∫abf (x)dx为推广的黎曼积分,它也是收敛的.定义 3 函数f ( x)在开区间(a,b)内连续，a,b 都是函数f ( x)的瑕点，则定义∫ab f ( x)dx=∫ac f ( x )dx+∫cb f (x )dx=limε→ 0+∫a+εcf ( x)dx+ limδ →0−∫cb−δ f ( x)dx,假如极限limε →0+∫a+εcf ( x)dx和limδ →0−∫cb−δ f ( x)dx均存在，我们称反常积分∫abf (x)dx收敛.定义 4 函数f ( x)在无限区间(a,+∞)连续，是函数f ( x)的瑕点，则定义∫a+∞ f ( x)dx=∫ab f ( x )dx+∫b+∞ f ( x)dx=limε →0+...
