精品文档---下载后可任意编辑基础实验一 数列极限与函数极限一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列讨论数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。二、实验材料1.1 割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中制造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列 Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况： m=2;n=15;k=10; For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];(圆内接正多边形边长) s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];(圆内接正多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ] t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}](数组)ListPlot[t](散点图)1.2 裴波那奇数列和黄金分割 由有著名的裴波那奇数列。假如令，由递推公式可得出，；。用下列 Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项) rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1]; Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]1.3 收敛与发散的数列数列当时收敛，时发散；数列发散。1.4 函数极限与数列极限的关系用 Mathematica 程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于，类似地考察在点处的极限。三、实验准备认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实...
