实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一 实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R 按戴德金连续性准这是连续的，即对R 的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A 的每一实数。小于或等于上类B 中的每一个实数。 定理二 单调有界有极限 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。 定理三 确界定理 在实数系R 内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。 定理四 区间套定理 设 是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r 包含在所有的区间套里，即 。 定理五 Borel 有限覆盖定理 实数闭区间 的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。 定理六 Bolzano-Weierstrass 紧致性定理 有界数列必有收敛子数列。 定理七 Cauchy 收敛原理 在实数系中，数列 有极限存在的充分必要条件是：任给 >0，存在N，当n>N，m>N 时，有 。 定理一 — 三是对实数连续性的描述，定理四 — 定理六是对实数闭区间的紧致性的描 述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性）， 它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一 定理二：设数列 单调上升有上界。令B 是 全体上界组成的集合，即 B= ，而A=R\B,则A|B 是实数的一个分划。事实上，由 有上界知B 不 空。又 单调上升，故 ，即A 不空。由A=R\B 知A、B 不漏。又 ， 则 ，使 ，即A、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理， 存在唯一的 使得对任意 ，任意 ，有 。下证 。事实上， 对 ，由于 ，知 ，使得 。又 单调上升。故当n>N 时， 有 。注意到 ，便有 。故当n>N 时有 ，于是 。这就证明了 。若 单调下降有下界， 则令 ，则 就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则 。定理二证完。 定理二 定理三：只需证明在实数系R 内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集 X 非空，且有上界。则 ，使得对 ，有 。又 R 是全序集， 对 ， 与 有且只有一个成立。故 ,有 与 有且只有一个成 立。故r是X 的上界与r不是X 的上界有且只有一个成立。 X 有上界， 实数是X 的 上界。若不存在实数不是X 的上界，则由上知， 实数都是X 的上界，这显然与X 非空矛 盾。故 ，使得 不是X 的上界， 是X 的上界。则 使得 。 用 的中点 二等分 ，如果 是X 的上界，则取 ；如果 不是X 的上界，则取 。继续用 二等...
