实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一 实数基本定理(戴德金实数连续性定理)实数系R 按戴德金连续性准这是连续的,即对R 的任意分划A|B,都存在唯一的实数r,它大于或等于下类A 的每一实数。小于或等于上类B 中的每一个实数。 定理二 单调有界有极限 单调上升(下降)有上(下)界的数列必有极限存在。 定理三 确界定理 在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 定理四 区间套定理 设 是一个区间套,则必有唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间套里,即 。 定理五 Borel 有限覆盖定理 实数闭区间 的任一个覆盖E,必存在有限的子覆盖。 定理六 Bolzano-Weierstrass 紧致性定理 有界数列必有收敛子数列。 定理七 Cauchy 收敛原理 在实数系中,数列 有极限存在的充分必要条件是:任给 >0,存在N,当n>N,m>N 时,有 。 定理一 — 三是对实数连续性的描述,定理四 — 定理六是对实数闭区间的紧致性的描 述,定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性(或称完备性), 它们都是等价的。下面给出其等价性的证明: 定理一 定理二:设数列 单调上升有上界。令B 是 全体上界组成的集合,即 B= ,而A=R\B,则A|B 是实数的一个分划。事实上,由 有上界知B 不 空。又 单调上升,故 ,即A 不空。由A=R\B 知A、B 不漏。又 , 则 ,使 ,即A、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理, 存在唯一的 使得对任意 ,任意 ,有 。下证 。事实上, 对 ,由于 ,知 ,使得 。又 单调上升。故当n>N 时, 有 。注意到 ,便有 。故当n>N 时有 ,于是 。这就证明了 。若 单调下降有下界, 则令 ,则 就单调上升有上界,从而有极限。设极限为r,则 。定理二证完。 定理二 定理三:只需证明在实数系R 内,非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集 X 非空,且有上界。则 ,使得对 ,有 。又 R 是全序集, 对 , 与 有且只有一个成立。故 ,有 与 有且只有一个成 立。故r是X 的上界与r不是X 的上界有且只有一个成立。 X 有上界, 实数是X 的 上界。若不存在实数不是X 的上界,则由上知, 实数都是X 的上界,这显然与X 非空矛 盾。故 ,使得 不是X 的上界, 是X 的上界。则 使得 。 用 的中点 二等分 ,如果 是X 的上界,则取 ;如果 不是X 的上界,则取 。继续用 二等...