对流扩散方程有限差分方法

对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 21111122huuuvhuuauunjnjnjnjnjnjnj （3） 若令 ha ，2hv  ，则（ 3）式可改写为 )2()(2111111njnjnjnjnjnjnjuuuuuuu （4） 从上式我们看到，在新的时间层1n上只包含了一个未知量1nju，它可以由时间层 n 上的值nju1 ，nju ，nju1 直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。 假定),(txu是定解问题的充分光滑的解，将1nju，nju1 ，nju1 分别在),(nj tx处进行Taylor展开： )(),(),(211Otutxutxuunjnjnjnj )(2),(),(322211hOxuhxuhtxutxuunjnjnjnjnj )(2),(),(322211hOxuhxuhtxutxuunjnjnjnjnj 代入(4)式，有 21111122),(huuuvhuuauutxTnjnjnjnjnjnjnjnj )()()(2222hOvxuvhOaxuaOtunjnjnj )()()(222hOvaOxuvxuatunjnjnj )(2hO 显然，当0，0h时，0),(nj txT，即中心差分格式与定解问题是相容的。由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为)(2hO。 对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。下面用Fourier 方法来分析中心差分格式的稳定性。 令ikjhnnjevu，代入到（4）式 )2()(21)1()1()1()1(1hjiknikjhnhjiknhjiknhjiknikjhnikjhnevevevevevevev整理得 nnvkhikhv]sin)cos1(21[1 所以该差分格式的增长因子为： khikhkGsin)cos1(21),( 其模的平方为 222)(sin)]cos1(21[),(khkhkG 2222)(sin)cos1(4)cos1(41khkhkh )]cos1()cos1(44)[cos1(122khkhkh...