微分方程数值解习题(李立康)

常微分方程习题 《李立康》 习题 1.用Eu ler 方法求初值问题 0)0(21utuu 在1t时的近似解（取41h）。 2.初值问题 1300uuu ()   有解3 223/u ( t )t 。但若用Eu ler 方法求解，对一切NT ,和HTh ,都只能得到Ntut,...,2,1,0，试解释此现象产生的原因。 3.用Eu ler 方法计算 1)0(uuu 在1t处的值，取161和41h，将计算结果与精确值 e）1（u相比较。 4.设),( utf满足定理 2.1 的条件，对改进 Eu ler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(1243hOtuh； （2）当1hL时，其整体截断误差满足： )1(22LtnlTmehLRe （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。 5.导出用改进 Eu ler 法求解 1)0(uuu 计算公式 mmhhu22 取41h计算)1(u的近似值，并与习题3 的结果比较。 6.就初值问题 0)0(ubatu 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解bttau22相比较。 7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面 0)Re(h。 8.对初值问题 1)0(2uuu 用41h的Euler 方法求解，求出实际计算值tu 与真解tu 11在)1(u处的误差，并将它与定理2.3 的估计式（2.22）式相比较。 9.证明：Runge-Kutta 方法中 );,(hut关于u或t满足Lipschitz条件的充分条件是),(utf关于t 或u 满足Lipschitz条件。 10.证明定理2.6. 11.证明定理2.7 的推论（推论2.1）：“N 级 Runge-Kutta 方法相容的充分必要条件是Niic11”。 12.Runge-Kutta 方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令utfffutfutg),(),(，则可将);,(hut取为 )),(3,3(2),();,(utfhuhtghutfhut， 证明这是一个二阶的单步方法。 [提示：利用 Taylor 展开后比较相当项的系数的方法。] 13.证明三阶Runge-Kutta 方法 23121321143,432,2),()432(9khuhtfkkhuhtfkutfkkkkhuumm 对于求解微分方程 tuu 与三阶Taylor 级数法的计算格式的形式完全相同。 14.对 Heun 二阶方法（2.10）式作出如图 2.3 那样的几何解释。 15.用 Taylor 级数法求方程 1)0(uuu 的)2,0(),1,0(uu的近似值（取4q），并说明近似值精度情况...