数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 内容分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题 ★返回 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻 t 的质量. 用 x 表示该放射性物质在时刻 t 的质量, 则 dtdx表示 x 在时刻 t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kxdtdx (8.1) 这是一个以 x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0k是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.ktCex若已知当0tt 时, ,0xx 代入通解ktCex中可得,00ktexC 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00ttkexx 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(U238)的半衰期约为 50 亿年;通常的镭(Ra226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600 年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14 测验的基础. 二、 逻辑斯谛方程: 逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型. 设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t), 则有 )]()[()(thHtkhdttdh (8.2) 其中0k是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程. 下面来求解方程(8.2). 分离变量得 ,)(kdthHhdh 两边积分 ,)(kdthHhdh 得 ,)]ln([ln11CkthHhH 或 ,21kHtHCkHteCehHh 故所求通解为 ,11)(22kHtkHtkHtCeHeCHeCth 其中的0112HCeCCC是正常数. 函数)(th的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1 所示的是一...
