微积分各种求极限的方法

北京理工大学 微积分-求极限 单调有界准则 夹逼准则 无穷小代换 罗密达法则 泰勒定理 程功 2010/12/29 1 1.lim1.1nnn 证明 证:1nx 11nn11n 任给0 ,要使1nx,只要1,1n即 11n ,所以,取1[]1N ,则当nN时,就有11nn,即lim1.1nnn  2.证明:nn2lim0n!  证:当n2时,22 2 222241 1!1 2 31nnnnn  (放大一般项) 对n24 0,|0 |,n!n要使只要 ,即4n,故只需取4Nm ax{[], 2} , 则当nN时,有n42n,n !nn2lim0n!  .0a 3证明当时,lim a xx   . 解：设n为不超过x的最大整数nxn  ，则1aaanxn 且 1lim0 lim0nnxxaa  lim0xxa  4.1,当时x 242lim (1)(1)(1)(1).求nnxxxx  解：将分子、2同时乘以因子1x，则此题可解。 5.设, 0,lim.求nnnnnnxababx  解： 2nnnnnnnbabb ，lim2lim2nnnnnbbb   根据夹逼定理有 limlim nnnnnnxabb   6.121lim ln2(12 )nnnnana 设 ，求 解：211lim lnlimln 1(12 )(12 )nnnnnannana  无 穷 小 代 换lim(12 )nnna 112a 2 7.3101tanlim ().1sinxxxx求 解：3101tanlim[1(1)]1sinxxxx原式310tansinlim[1]1sinxxxxx 30tansin1lim1sinxxxxx30sin(1cos)1lim(1sin) cosxxxxxx20sin1cos1lim(1sin) cosxxxxxxx1212 .e原式 8.求lim ()3nnnnnabc  解（一）：33333lim (1)3原式nnnnnnabcnnnnabcnabc  333lim (1)3nnnnnnabcnabce  3lim3nnnnabcn 1111lim()1113nnnnaaannn 1 (lnlnln )3abc3ln,abc 所以原式=3ln abce3 abc 解（二）：ln3lim原式nnnabcnne  而limln3nnnnabcn 3limln(1)3nnnnabcn 3lim3nnnnabcn 1111lim()1113nnnnabcnnn 1 (lnlnln )3abc3lnabc3ln原式 abce3 abc 9.设),,2,1(,3,311...