抽象函数专题

抽象函数专题讲座 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数。 一.抽象函数定义域 1． 已 知( )f x 的 定 义 域 ， 求( )f g x的 定 义 域 其解法是：若( )f x 的定义域为axb≤≤，则在( )f g x中，( )ag xb≤≤，从中解得x的取值范围即为( )f g x的定义域． 例1 .已知函数( )f x 的定义域为15 ，，求(35)fx的定义域． 解：( )f x 的定义域为15 ，，1355x≤≤，41033x≤≤． 故函数(35)fx的定义域为4 1033，． 2、 已 知( )f g x的 定 义 域 ， 求( )f x 的 定 义 域 其解法是：若( )f g x的定义域为mxn≤≤，则由mxn≤≤确定的( )g x 的范围即为( )f x 的定义域． 例2 已知函数2(22)f xx的定义域为 0 3，，求函数( )f x 的定义域． 解：由03x≤≤，得21225xx≤≤． 令222uxx，则2(22)( )f xxf u，15u≤≤． 故( )f x 的定义域为 15，． 二.抽象函数表达式与函数值 1. 换元法. 例3. 已知f(1+ x 2)=2+ x 2+x 4, 求f(x ) 解:令t=1+ x 2 t12= -1xt 原式即为：22(t)=2+t-1+(t-1) = - +2ftt 2(x )=- +2fx x1x  2.待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4 .已知f(x )是多项式函数，且f(x +1)+f(x -1)=2x 2-4x ,求f(x ). 解:由已知得f(x )是二次多项式，设f(x )=ax 2+bx +c (a≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x )=x 2-2x -1. 3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例5.对任意实数x ,y，均满足f(x +y 2)=f(x )+2[f(y )]2 且f(1)≠0,则 f(2001)=_______. 解:令 x =y =0,得：f(0)=0,令 x =0,y =1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, ,21)n(f)]1(f[2)n(f)1n(f,1y,nx.21)1(f,0)1(f2得令 .22001)2001(f,2n)n(f,21f(n )-1)f(n 故即 三、抽象函数的模型构造 1、线性函数型抽象函数 f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y） 例 6、已知函数)(xf对任意实数x，y，均有)()()(yfxfyxf，且当0x时，0)(xf，2)1(f，求)(xf在区间[－2，1]上的值域。 解：设21xx ，则012 xx， 当0x...