排列组合与二项式定理

1 .乘法原理和加法原理 （1 ）乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1 步有1m 种不同的方法，第2 步有2m 种不同的方法，，第n 步有nm 种不同的方法，那么完成这件事共有12nNm mm种不同的方法. （2 ）加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1 类办法中有1m 种不同的方法，在第2 类办法中有2m 种不同的方法，，在第n 类办法中有nm 种不同的方法，那么完成这件事共有12nNmmm种不同的方法. 【注意】 应用两个计数原理的关键是分清“步”与“类”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，则符合乘法原理，需要注意“步”与“步”之间的连续性；完成一件事有若干类方法，每类方法能独立完成这件事，则符合加法原理，需要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性. 2 .排列组合 （1 ）排列的概念：从 n 个不同的元素中取出()m mn个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同的元素中取出()m mn个元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号mnP 表示. （2 ）排列数公式：!(1 )(2 )(1 )( ,*,)()!mnnPn nnnmm nNmnnm， !nnPn，规定：0 ! 1 . （3 ）组合的概念：从 n 个不同的元素中取出()m mn个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同的元素中取出()m mn个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号mnC表示. （4 ）组合数公式：(1 )(2 )(1 )!!!()!mmnnmmPn nnnmnCPmm nm （5 ）组合的两个性质：①mn mnnCC ；②11mmmnnnCCC 【注意】解决排列组合问题常见的解题方法有： 直接法，间接法，捆绑法，插空法，固定秩序法，元素优先法，位置优先法等。 （1）直接法：根据加法原理及乘法原理，直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题，这种解题方法为直接法。 （2）间接法：不管限定条件，全部的排列数或组合数，必含两类情况，一类是符合题意限定条件的种数，另一类不符合题意限定条件的种类，用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类，此种方法属数学中常用的间接法。当符合题意限定条件中的种类不易求，或情况多样易出错，而不符合题意条件的种类易求时，常采用此法。 （3）捆绑法：关于某些元素必“...