条件极值与拉格朗日乘数法

§4 条件极值 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000zyx到一曲面0),,(zyxG的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点),,(zyx到点),,(000zyx的距离为202020)()()(),,(zzyyxxzyxF.现在的问题是要求出曲面0),,(zyxG上的点),,(zyx使 F 为最小.即问题归化为求函数),,(zyxF在条件0),,(zyxG下的最小值问题. 又 如 ， 在 总 和 为 C 的 几 个 正 数nxxx,,21的 数 组 中 ， 求 一 数 组 ， 使 函 数 值22221nxxxf为最小，这是在条件Cxxxn 21 )0(ix的限制下，求函数 f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例 1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以 x 、 y 和 z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 Vxyz 之下求函数xyyzxzzyxS)(2),,(的最小值 . 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21nmmkxxxnk 限制下， 求目标函数),,,(21nxxxfy的极值. 对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由Vxyz 解 出 xyVz , 并 代 入 函 数),,(zyxS中 , 得 到xyxyVyxF)11(2),(, 然后按)0,0(),(yx FF, 求出稳定点3 2 Vyx, 并有3 221Vz , 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243VS . 然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件 设在约束条件0),(yx之下求函数z),(yxf的极值 . 当满足约束条件的点),(00 yx是函数),(yxf的条件极值点 , 且在该点函数),(yx满足隐函数存在条件时, 由方程0),(yx决定隐函数 )(xgy , 于是点0x 就是一元函数)( , xgxfz 的极限点 , 有 0)(xgffdxdzyx.代入 ),(),()(00000yxyxxgyx, 就有 0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx, 即 xfyyfx0 , 亦即 (xf , yf ) (y ,x)0 . 可见向量(xf , yf )与向量(y , x)正交. 注意到向量(x , y )也与向量(y , x)正交, 即得向量(xf , yf )与向量 (x , y )线性相关, 即存在实数 , ...