极限的解法与技巧_汇总

1 极限的求法与技巧 极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。 1.运用极限的定义 例：用极限定义证明:1223lim22xxxx 证: 由244122322xxxxxx 222 2xxx 0 取  则当20x 时,就有 12232xxx 由函数极限  定义有: 1223lim22xxxx 2.利用单调有界准则求极限 预备知识：若数列 na收敛，则 na为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 Man . 此方法的解题程序为： 1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列 na单调有界； 2、设 na的极限存在，记为 Aannlim代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方程，解之即得该数列的极限。 例：若序列 na的项满足)0(1aaa且),2,1(,211naaaannn,2 试证 na有极限并求此极限。 解 由 aa 1 aaaaaaaaaaa12112111222121 用数学归纳法证明 aak  需注意 aaaaaaaaaaakkkkkkk2222121. 又 022121nnnnnnaaaaaaaa   na为单调减函数且有下界。 令其极限为 A 由 nnnaaaa211 有： nnnnaaaa21lim1 即 AaAA21  aA 2  aA  )0(A 从而 aannlim. 3.利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系： ,~arctan~arcsin,~tan,~sin,0xxxxxxxxx  ,~1xe x ,ln~1axa x ,ln~)1(logaxxa,1~11xnxn3 等价无穷小代换法 设'',,, 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ''~,~， ''lim  存在， 则 lim 也存在，且有lim= ''lim  例:求极限2220sincos1limxxxx 解: ,~sin22xx 2)(~cos1222xx  2220sincos1limxxxx=212)(2222xxx 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 4．利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下： 若 Axfxx)(lim0 Bxgxx)(lim0 (I))()(lim0xgxfxx )(lim0xfxxBAxgxx)(lim0 (II)BAxgxfxgxfx...