椭圆中的定点与定值问题

时间就是金钱，效率就是生命！ 唯有惜时才能成功，唯有努力方可成就！ 椭圆中的定点与定值问题 江苏省苏州第十中学 朱嘉隽 【教学目标】 1. 在解决椭圆定值定点问题的过程中，体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式； 2. 综合、灵活地使用对称、共线以及变量之间的关系，掌握等价转化、数形结合等思想方法. 【基础训练】 1. 已知椭圆221164xy 的左顶点为 A，过A 作两条互相垂直的弦 AM、AN 交椭圆于 M、N 两点，直线 MN 过x 轴上的一定点，该定点为___________． 【解析】通过特殊位置判断，不妨设直线 AM 的斜率为 1，直线 AN 的斜率为-1，联立椭圆与直线方程解之，即22211253248041645= +4xyxxxxy x  或（舍去），由此时点M、N 的对称性可知，直线 MN 过x 轴上的定点12(,0)5T ． 【反思】填空题中涉及定点定值问题的，往往采用特殊位置带入求解，猜测得到答案，在解答题中也经常采用先猜后证的方法，但要注重严格 的计 算 证明 ． 2. 椭圆22:182xyC上一点(2,1)A，若,M N 是椭圆上关于原 点对称的两个 点，当 直线 AM 、AN 的斜率都 存 在时，AMANkk=_____________. 【解析】设点求解，抓 住 点在椭圆上，构 建 关系，设00(,)M x y、00(,)Nxy，则0012AMykx，0012ANykx ，20002000111224AMANyyykkxxx，又22002(1)8xy，14AMANkk . 【反思】有关重要结论 可识 记 ，若,M N 是椭圆22221xyab 上关于原 点对称的两个 点，点A 是椭圆上一定点，则22AMANbkka ． 时间就是金钱，效率就是生命！ 唯有惜时才能成功，唯有努力方可成就！ 3. 设椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O为坐标原点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12，则椭圆的离心率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【解析】设(,0)Aa、( ,0)B a，再设椭圆上异于,A B 两点的任一点00(,)P x y，则有222002(1)xyba，由题意，22000222000APBPyyybkkxa xaxaa ，2212ba  ， 22e. 【反思】利用第2 小题的结论即可得到答案，这其实是对椭圆的另一种定义形式，即“一个动点到两个定点的连线斜率乘积为定值，且该定值在( 1,0)内”． 4. 已知椭圆22:143xyC上有一点3(1,)2P，点,...