求极限的方法及例题总结

1 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim1xxx 解：原式=43)213)(1(33lim)213)(1(2)13(lim1221xxxxxxxx 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 )12(limnnnn 解：原式=2311213lim12)]1()2[(limnnnnnnnnnn分子分母同除以 。 例3 nnnnn323)1(lim解：原式11)32(1)31(lim3nnnn上下同除以 。 2 3．两个重要极限 （1） 1sinlim0xxx （2） exxx10)1(lim ； exxx)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如：133sinlim0xxx，exxx210)21(lim，exxx3)31(lim；等等。 利用两个重要极限求极限 例5 203cos1limxxx解：原式=61)2(122sin2lim32sin2lim220220xxxxxx 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例6 xxx20)sin31(lim=6sin6sin310sin6sin310])sin31[(lim)sin31(limexxxxxxxxxx 例7 nnnn)12(lim=313311331])131[(lim)131(limennnnnnnnnn 。 4．等价无穷小 定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理 3 当0x时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～xsin～xtan～xarcsin～xarctan～)1ln(x～1xe 。 说明：当上面每个函数中的自变量 x 换成)(xg时（ 0)(xg），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0x时， 13 xe ～ x3 ；)1ln(2x ～ 2x。 定理 4 如果函数)(),(),(),(11xgxfxgxf都是0xx 时的无穷小，且)(xf～)(1 xf，)(xg～)(1 xg，则 当)()(lim110xgxfxx存 在 时 ，)()(lim0xgxfxx也 存 在 且 等于)(xf)()(lim110xgxfxx，即)()(lim0xgxfxx=)()(lim110xgxfxx。 3 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 )arctan()31ln(lim20xxxx 解：)31ln(0xx 时，～x3 ，)arctan(2x～2x ， 原式=33lim20xxxx 。 例10 xxeexxxsinlimsin0 解：原式=1sin)sin(limsin)1(limsin0sinsin0xxxxexxeexxxxxx 。 注：下面的解法是错误的： 原式=1sinsinlimsin)1()1(lim0sin0xxxxxxeexxxx 。 正如下面例题解法错误一样： 0limsintanlim3030...