求轨迹方程的方法

1 §2.1 曲线与方程 知识点一 直接法求曲线的方程 已知线段 AB 的长度为 10，它的两个端点分别在 x 轴、y 轴上滑动，则 AB 的中点 P 的轨迹方程是________． 解析 设点 P 的坐标为(x，y)，则 A 点坐标为(2x,0)，B 点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得 (2x)2＋(2y)2＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100， 整理、化简得 x2＋y2＝25. 答案 x2＋y2＝25 知识点二 代入法求曲线的方程 已知△ABC 的两顶点 A、B 的坐标分别为 A(0,0)、B(6,0)，顶点 C在曲线 y＝x2＋3 上运动，求△ABC 重心的轨迹方程． 分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由 A、B、C 三点的坐标表示出来，而 A、B 是定点，且 C 在曲线 y＝x2＋3 上运动，故重心与 C 相关联．因此，设出重心与 C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程 y＝x2＋3 即可． 解 设 G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点 C 的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得  x＝0＋6＋x′3，y＝0＋0＋y′3 ∴ x′＝3x－6，y′＝3y. 顶点 C(x′，y′)在曲线 y＝x2＋3 上， ∴3y＝(3x－6)2＋3，① 整理，得 y＝3(x－2)2＋1， 故所求轨迹方程为 y＝3(x－2)2＋1. 知识点三 定义法求曲线的方程 设 A(1,0)，B(－1,0)，若动点 M 满足 kMA·kMB＝－1，求动点 M 的轨迹方程． 解 如图所示，设动点 M 的坐标为(x，y)．由题意知：MA⊥MB. 2 所以△MAB 为直角三角形，AB 为斜边． 又因为原点O 是AB 的中点， 所以，|MO|= 12 ， |AB|=1，所以，动点M 在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上． 根据圆的方程的定义知：方程为x2+y2=1. 又因为动点M 不能与点A，B 重合，所以，x≠±1， 所以，动点M 的轨迹方程为x2+y2=1 (x≠±1)． 知识点四 参数法求曲线的方程 已知定点P(a，b)不在坐标轴上，动直线 l 过点P，并分别交 x 轴，y 轴于点A，B，分别过 A，B 作 x 轴，y 轴的垂线交于点M，求动点M 的轨迹方程． 解 设 M(x，y)，并设 l：y－b＝k(x－a)，由题意知k 存在，且 k≠0，则得A(a－bk，0)，B(0，b－ak)，又AM，BM 分别是x 轴，y 轴的垂线，得 M(a－bk，b－ak)． 即 x＝a－bk，y＝b－ak，消去参数 k， 得 xy－ay－bx＝0. 所以动点M 的轨迹方程是xy－ay－bx＝0. 知识点五 交轨法求曲线的方程 如果两条曲线的方程是f1(x，y)＝0 和 f2(x，y)＝0，它们的交点...