1 §2.1 曲线与方程 知识点一 直接法求曲线的方程 已知线段 AB 的长度为 10,它的两个端点分别在 x 轴、y 轴上滑动,则 AB 的中点 P 的轨迹方程是________. 解析 设点 P 的坐标为(x,y),则 A 点坐标为(2x,0),B 点坐标为(0,2y).由两点间的距离公式可得 (2x)2+(2y)2=10,即(2x)2+(2y)2=100, 整理、化简得 x2+y2=25. 答案 x2+y2=25 知识点二 代入法求曲线的方程 已知△ABC 的两顶点 A、B 的坐标分别为 A(0,0)、B(6,0),顶点 C在曲线 y=x2+3 上运动,求△ABC 重心的轨迹方程. 分析 由重心坐标公式,可知△ABC 的重心坐标可以由 A、B、C 三点的坐标表示出来,而 A、B 是定点,且 C 在曲线 y=x2+3 上运动,故重心与 C 相关联.因此,设出重心与 C 点坐标,找出它们之间的关系,代入曲线方程 y=x2+3 即可. 解 设 G(x,y)为所求轨迹上任一点,顶点 C 的坐标为(x′,y′),则由重心坐标公式,得 x=0+6+x′3,y=0+0+y′3 ∴ x′=3x-6,y′=3y. 顶点 C(x′,y′)在曲线 y=x2+3 上, ∴3y=(3x-6)2+3,① 整理,得 y=3(x-2)2+1, 故所求轨迹方程为 y=3(x-2)2+1. 知识点三 定义法求曲线的方程 设 A(1,0),B(-1,0),若动点 M 满足 kMA·kMB=-1,求动点 M 的轨迹方程. 解 如图所示,设动点 M 的坐标为(x,y).由题意知:MA⊥MB. 2 所以△MAB 为直角三角形,AB 为斜边. 又因为原点O 是AB 的中点, 所以,|MO|= 12 , |AB|=1,所以,动点M 在以O(0,0)为圆心,|MO|为半径的圆上. 根据圆的方程的定义知:方程为x2+y2=1. 又因为动点M 不能与点A,B 重合,所以,x≠±1, 所以,动点M 的轨迹方程为x2+y2=1 (x≠±1). 知识点四 参数法求曲线的方程 已知定点P(a,b)不在坐标轴上,动直线 l 过点P,并分别交 x 轴,y 轴于点A,B,分别过 A,B 作 x 轴,y 轴的垂线交于点M,求动点M 的轨迹方程. 解 设 M(x,y),并设 l:y-b=k(x-a),由题意知k 存在,且 k≠0,则得A(a-bk,0),B(0,b-ak),又AM,BM 分别是x 轴,y 轴的垂线,得 M(a-bk,b-ak). 即 x=a-bk,y=b-ak,消去参数 k, 得 xy-ay-bx=0. 所以动点M 的轨迹方程是xy-ay-bx=0. 知识点五 交轨法求曲线的方程 如果两条曲线的方程是f1(x,y)=0 和 f2(x,y)=0,它们的交点...