竞赛中的向量和向量方法

第 1 页 向量和向量方法 李智伟 林绍华 （湖北省宜昌市第一中学，443000） （本讲适合高中） 空间向量（二维或三维）作为线性代数的重要组成部分，在高等代数研究中多被用做印证定理的实际例子，有着广泛的应用．2001 年高中课改后，这个更接近现代数学的数学工具，被引入到高中的数学学习中来．由于向量同时具有数与形两方面的特征，能把形的问题转化为代数问题，又能将代数式转变为具体的图形，近几年来，在数学竞赛中的运用越来越灵活．这里，就全国高中数学联赛试题中涉及的一些向量问题作一些探究． 一、有关知识： （1） 共线向量定理：()ab b0存在唯一的实数  使得a =b ． （2） 平面向量基本定理：设向量12,e e 为平面内两个不共线的向量，则对于平面内任意一个向量a ，有且仅有唯一的有序实数对12,  使得1 122aee ． （3） 若( ,)OPOAOB R， 则,,P A B 三 点共 线 的 充要 条件是1 ．定比分点公式：若点P 在直线 AB 上，且APPB，O 为任意一点，则 1OAOBOP． （4） 对于向量1122( ,),(,)x yx ya =b，121200x xy yaba b． （5） 设,a b为两个向量，则ababab ，a ba b． （6） 空间向量基本定理：设向量123,,e e e 为空间中三个不共面的向量，则对于空 间 中 任意一 个向量 a ， 有 且仅有 唯一的 有 序实 数 组123,,   使 得112233aeee． 若( , ,)OPOAOBOC  R，则, , ,P A B C 四点共面的充要条件是1 ． （7） 两向量的夹角公式： cos, a ba ba b；向量模长公式：aa a ；点A到平面 的距离公式：d  a nn （其中 a 是以点A 为起点，以平面 内任意一点为终点的一个向量， n 是平面 的一个法向量）． （8） 三角形中“四心”的向量形式： 重心：若G 为 ABC的重心，则0GAGBGC； 垂心：若H 为 ABC的垂心，则(1) HA HBHB HCHC HA   ； (2) 222222HABCHBCAHCAB；...