2 0 0 8 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4 —1 第4 章 向量组的线性相关性 4．1 向量的线性组合与线性表示 由n 个实数组成的有序数组称 naaa,,,21"为n 维向量，记作 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=naaa#21α， 其中ia 称为向量α 的第个分量．这个向量是一 i个列向量．行向量记作 ()nTaaa,,,21"=α． 分量全为０的向量称为零向量， 记作． ()T0000，，，"= 两个n 维向量()Tnaaa,,,21"=α， (Tnbbb,,,21"=β) ，若它们的对应分量全相等， 即iiba =，则称向量ni,,2,1"=α 和β 相等， 记作βα =． 设两个n 维向量()Tnaaa,,,21"=α， ()Tnbbb,,,21"=β，定义 2 0 0 8 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4 —2 ()Tnnbababa+++=+,,,2211"βα， 称为向量α 与β 的和． 设()Tnaaa,,,21"=α， 称为向量()Tnaaa−−−=−,,,21"αα 的负向量． 于是定义向量的减法： ）（ βαβα−+=−． 设()Tnaaa,,,21"=α，k是实数，定义 ()Tnkakakak,,,21"=α， 称为数k与向量α 的数量乘法，简称数乘． 对任意n 维向量 γβα，，及任意实数lk, ， 向量的加法及数量乘法满足以下８个性质： （１）αββα+=+； （２）()()γβαγβα++=++； （３）αα=+ 0； （４）0=−+）（ αα； （５）αα =⋅1； （６）αα)()(kllk=； （７）βαβαkkk+=+)(； （８）αααlklk+=+ )(． 2 0 0 8 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4 —3 设sααα,,,21"是维向量， nskkk,,,21"是数，则 sskkkααα+++"2211 称为向量sααα,,,21"的一个线性组合． 若sskkkαααβ+++="2211，称β 可由sααα,,,21"线性表示或线性表出． 例1 设，()T3,2,11 =α()T4,1,02 =α， ()T6,3,23 =α，()T5,1,1−=β，试用 321,,ααα线性表示β ． 例２ 设， ()T2,0,4,11 =α()T3,1,7,22 =α， ()T2,1,1,03−=α， (Ta4,,1 0,3=β) ．a取何值时，β 可由 321,,ααα线性表示？写出表示式． ４． 2 向量组的线性相关与线性无关 设sααα,,,21"是维向量，若存在不全为 n零的数，使得 skkk,,,21"02211=+++sskkkααα" 成立，则称向量组sααα,,,21"线性相关．否则 2 0 0 8 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4 —4 称为线性无关． 只有一个向量的向量组{ }α ，如果0=α，则 向量组是线性相关的；...
