第4讲中点模型(原卷版)

- 1 - 中考数学几何模型 4：中点模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。 ABCDEABCDEFEDCBA 典题探究 启迪思维 探究重点 例题 1 . 如图，在△ABC 的两边 AB、AC 向形外作正方形 ABDE 和 ACFG，取 BE、BC、CG 的中点 M、Q、 N．求证：MQ＝QN． - 2 - 变式练习>>> 1. 如图，在△ACE 中，点B 是AC 的中点，点D 是CE 的中点，点M 是AE 的中点，四边形BCGF 和四边 形CDHN 都是正方形．求证：△FMH 是等腰直角三角形． 例题 2 . 如图，已知BD、CE 分别是△ABC 的AC、AB 边上的高，G、F 分别是BC、DE 的中点．求证：GF ⊥DE． 变式练习>>> 2. 如图，在△ABC 中内取一点，使∠PBA＝∠PCA，作 PD⊥AB 于点D，PE⊥AC 于点E，求证：DE 的垂 直平分线必过 BC 的中点M． - 3 - 例题 3 . 已知：AD 为△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，AB＝BD，求证：AC＝2 AE．（两种证法） 变式练习>>> 3 . 如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上 述结论完成下列探究活动： 探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB∥DC，E 为BC 边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF 与DC 的延长线相交于点F．试探究线段AB 与AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论； 探究二：如图③，DE、BC 相交于点E，BA 交DE 于点A，且BE：EC＝1 ：2 ，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4 ，CF＝2 ，求DF 的长度． - 4 - 例题 4 . 如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3 和1 ，点F，G 分别在边BC，CD 上，P 为AE 的中点，连接PG，则PG 的长为 ． 变式练习>>> 4 . 如图，过边长为3 的等边△ABC 的边AB 上一点P，作PE⊥AC 于 E，Q 为BC 延长线上一点，当 PA＝ CQ 时，连PQ 交 AC 边于 D，则DE 的长为 ． - 5 - 例题5 . 如图1，在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E，作EF⊥AB 交BD 于点F，取FD ...