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第8讲矩阵的直积及其应用

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第8 讲 矩阵的直积及其应用 内容:1. 矩阵直积的定义与性质 2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用 矩阵直积(Kronecker 积)在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用.运用矩阵直积运算,能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组. §1 矩阵直积的定义与性质 1.1 矩阵直积 定义1.1 设nmijCaA)(,qpijCbB)(,称如下的分块矩阵BaBaBaBaBaBaBaBaBaBAmnmmnn2122 22 111 21 1为A 与B 的直积(Krionecker积,张量积),记为BA .BA 是一个nm  个块的分块矩阵,简写为nqmpijCBaBA)(. 显然BA 与AB  为同阶矩阵,但一般ABBA,即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵,有mnnmmnEEEEE. 例 1.1 设1001A,)1,1( B,则 11000011BA,10100101AB. 定义1.2 若nTnTnCyyyyxxxx),,,(,),,,(2121,则 TTyxxy,称Txy 为向量 x与y的外积. 1.2 矩阵直积的性质 定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质: (1))()()(kBABkABAk; (2))()(CBACBA; (3)CABACBA)(,ACABACB)(; (4)TTTBABA)(; (5)HHHBABA)(; (6)若,,,,tqsnqpnmCDCCCBCA则 )()())((BDACDCBA, 若gEB ,nEC ,则DADEEAng))((; (7)若A,B均可逆,则BA 可逆,且111)(BABA; (8)若A和B都是对角矩阵、上(下)三角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵,则BA 也分别是这种类型的矩阵. 定义 1.3 二元复系数多项式为ljijiijyxcyxf0,),(,若矩阵mmCA,nnCB,则mn 阶矩阵 ljijiijBAcBAf0,),(,其中mEA 0,nEB 0. 定理1.2 设ljijiijyxcyxf0,),(, ljijiijBAcBAf0,),(,mmA 的特征值为m,,,21,nnB 的特征值为n,,,21,则),(BAf的全体特征值为),(jif,),,2,1,,,2,1(njmi. 证明 由 Schur 定理知存在酉矩阵QP, 使得 121*AAPPmH,121*BAQQnH, 其中1A ,1B 为上三角矩阵,由定理 1.1 知,QP  为酉矩阵,jiBA11 为上三角矩阵,则 ))(,()...

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