第8讲矩阵的直积及其应用VIP专享

第8 讲 矩阵的直积及其应用 内容：1. 矩阵直积的定义与性质 2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用 矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组． §1 矩阵直积的定义与性质 1.1 矩阵直积 定义1.1 设nmijCaA)(，qpijCbB)(，称如下的分块矩阵BaBaBaBaBaBaBaBaBaBAmnmmnn2122 22 111 21 1为A 与B 的直积（Krionecker积，张量积），记为BA ．BA 是一个nm  个块的分块矩阵，简写为nqmpijCBaBA)(． 显然BA 与AB  为同阶矩阵，但一般ABBA，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有mnnmmnEEEEE. 例 1.1 设1001A，)1,1( B，则 11000011BA，10100101AB. 定义1.2 若nTnTnCyyyyxxxx),,,(,),,,(2121，则 TTyxxy，称Txy 为向量 x与y的外积. 1.2 矩阵直积的性质 定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质： （1）)()()(kBABkABAk； （2）)()(CBACBA； （3）CABACBA)(，ACABACB)(； （4）TTTBABA)(； （5）HHHBABA)(； （6）若,,,,tqsnqpnmCDCCCBCA则 )()())((BDACDCBA， 若gEB ，nEC ，则DADEEAng))((； （7）若A，B均可逆，则BA 可逆，且111)(BABA； （8）若A和B都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则BA 也分别是这种类型的矩阵. 定义 1.3 二元复系数多项式为ljijiijyxcyxf0,),(，若矩阵mmCA，nnCB，则mn 阶矩阵 ljijiijBAcBAf0,),(，其中mEA 0，nEB 0. 定理1.2 设ljijiijyxcyxf0,),(， ljijiijBAcBAf0,),(，mmA 的特征值为m,,,21，nnB 的特征值为n,,,21，则),(BAf的全体特征值为),(jif，),,2,1,,,2,1(njmi． 证明 由 Schur 定理知存在酉矩阵QP, 使得 121*AAPPmH，121*BAQQnH， 其中1A ，1B 为上三角矩阵，由定理 1.1 知，QP  为酉矩阵，jiBA11 为上三角矩阵，则 ))(,()...