浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用文［1］介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行讨论，会使得问题的解决过程变得简化。笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法.例 1 已知椭圆，为坐标原点，为椭圆右顶点，若椭圆上存在点（异于点),使得,则椭圆离心率的取值范围为________。分析 此题中的点满足，即点在以为直径的圆上，也即椭圆与以为直径的圆有不同于点的公共点。利用仿射变换将椭圆变换为圆，点变换为点，则点与点的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比.解 作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆,原坐标系中以为直径的圆的方程为,则,不难求得椭圆离心率。说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到,仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.例 2 已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦,分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为________。分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时四点分别变换为四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质,故将上述题目中的椭圆变换为圆时,四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与轴垂直时取到，故只需讨论在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点，当为多少时，能使得过的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.解 作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中,上述椭圆变换为圆,点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点。由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可。由文[2］中的结论，易得当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到。故此题离心率的取值范围为.说明 此题的一般解法也较多,但根据常规解法则较为繁琐。而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算较为简便，故使得本题的解答过程大大简化。本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解.例 2 变式 已知椭圆，为椭圆内一定点,过点的弦与椭圆交于两点，若使得三角形面积为的弦存在两条，则取值范围为________.例 3 (2024 年常州期末第 18 题）...
