讲 授 内 容备 注第三十四讲§6.4 隐函数存在定理对方程而言，隐函数存在定理是：满足 ； 及在的某邻域内连续，则方程在的邻域里确定了唯一的隐函数.具体来说，即，及函数，满足：** Expression is faulty **) ；** Expression is faulty **) 其中 ；** Expression is faulty **) 满足条件** Expression is faulty**)、** Expression is faulty **)的函数是唯一的；** Expression is faulty **) 在内连续．若附加条件：在的邻域内连续，则存在， 且． 例 1 给定方程 3 学时注：定理的条件只是充分条件，而不是要条件． 1) 说明在点的充分小的邻域内，此方程确定唯一的、连续的函数，使得； 2) 讨论函数在附近的可微性；3) 讨论函数在附近的升降性（单调性）；4) 在点的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一的单值函数，使得？为什么？ 解 1) ，； 显然及在的邻域内连续，由隐函数存在定理，在点的某邻域内存在唯一隐函数，连续，．2) 也在的邻域内连续，所以函数的导数存在，且 3) 为讨论在附近的升降性，考虑的符号，由得出，当充分接近时，的符号取决于分子的符号．，由知 ， （当时）于是 的符号与的符号相同．时，，时，．可见，在处取（严格）极大．4) （用隐函数存在定理不能判定在的邻域内是否存在唯一的单值函数，使得，）由 3)知，在处取（严格）极大，故在的充分小的邻域内，当时，至少有二个与对应．而当时，无与对应，使得．所以不能确定，使得．§6.5 方向导数与梯度一、方向导数的计算1) 利用定义 偏导数是两个特别方向的方向导数梯度方向是函数变化最剧烈的方向，或个方向导数的最大值就是梯度的模函数在点处沿单位向量方向的方向导数定义为 2) 利用偏导数与方向导数的关系若在点处可微，则在点沿任意方向的方向导数存在，且 3) 利用梯度与方向导数的关系若在点处可微，则在点沿任意方向的方向导数存在，且其中表示与 的夹角．例 1 设试证：在点沿任意方向的方向导数存在，但在书 P100 EX5处不可微．证 取任意方向则 于是 可见在处沿任意方向的方向导数存在．不可微性是课本上的例题．例 2 证明：在处沿任意方向的方向导数为 证 外法线方向 若，，．总之，有．例 3 求在椭球面上的点处的外法线方向的导数．解 法向量 单位法向量 其中 ．因此， ．例 4 设是区间上的可微函数，在直对一元函数若则注：本结论可推角坐标平面内，其图像为曲线...
