返回返回返回返回返回返回2 ．基本不等式返回返回返回返回1．基本不等式的理解 重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式a＋b2≥ ab，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的 ；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的 ，如a＝0，b≥0仍然能使 a＋b2≥ab 成立． 两个不等式中等号成立的充要条件都是 . 充要条件充分不必要条件a ＝ b返回返回2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a2＋b2≥a＋b22； (2)ab≤a2＋b22； (3)ab≤(a＋b2 )2； (4)(a＋b2 )2≤a2＋b22； (5)(a＋b)2≥4ab. 返回返回返回返回[例 1] 已知 a、b、c∈R＋，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. [思路点拨] 解答本题可先利用 1 进行代换，再用基本不等式来证明． 返回返回[证明] 法一： a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc ＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc ＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即1a＋1b＋1c≥9. 返回返回法二： a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c) ＝(1＋ba＋ca＋ab＋1＋cb＋ac＋bc＋1 ＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∴1a＋1b＋1c≥9. 返回返回 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．返回返回1 ．已知 a 、 b 、 c 是不全相等的正数，求证： a(b2 ＋ c2)＋b(c2 ＋ a2) ＋ c(a2 ＋ b2)>6abc.证明： b2 ＋ c2≥2bc ， a ＞ 0 ，∴a(b2 ＋ c2)≥2abc. ①同理 b(c2 ＋ a2)≥2abc ， ②c(a2 ＋ b2)≥2abc. ③因为 a 、 b 、 c 不全相等，所以①②③式中至少有一个式子不能取“＝”．∴a(b2 ＋ c2) ＋ b(c2 ＋ a2) ＋ c(a2 ＋ b2)>6abc.返回返回2．已知a，b，c>0，求证：a2b ＋b2c ＋c2a≥a＋b＋c. 证明： a，b，c，a2b ，b2c ，c2a均大于0， 又a2b ＋b≥2 a2b ·b＝2a， b2c ＋c≥2 b2c ·c＝2b. c2a＋a≥2 c2a·a＝2c. 返回返回∴(a2b ＋b)＋(b2c ＋c)＋(c2a＋a) ≥2(a＋b＋c)． 即a2b ＋b2c ＋c2a≥a＋b＋c. 当且仅当a2b ＝b，b2c ＝c，c2a＝a， 即a＝b＝c时...
