用母函数求两类数列的通项公式

万方数据故口。=厄[(厄一 1)“+1]．(口，一了 1 口 2 一了 2 n。)石 2+ +(口。一 i1 口州一评注用母函数法解递推数列 nn+I=pa。+q的要点是：根据递推式构造口。，然后用八髫)表示数寺。越)x”1‘+ ，因为口。=寺(口川+2a。一 2)，所以列{％}的母函数，且 lJf(x)=∑an 茗“，接着将递推关(1 一 r1 一矿 2 2 班菇)=口。+(。：一r1。)z：l+}，反删。蒋小詈，毒系式代入右边，得到一个关于八戈)的分式方程，拆．5分分式，并利用幂级数的性质，将拆分所得的分式展成幂级数，便可求得数列的通项公式．3．2二阶线性递推式：口棚=pa 训+qa。(其中 p，q是非零常数，且 P2—49≥0)+詈·古-(-了 3)蠢(72 H 詈争，例 3(2024 年福建卷文科)已知数列{口。}满足 aI=1，口 2=3，a。+2=3a。+l 一 2a。(n∈N’)，求数即 n 主=lⅡ。戈”l=薹【(一÷)(一手)”l+詈】x4i1，故n=l‘J．J．，。列{口。}的通项公式．解令以茗)=al+a2x+口 3 石 2 +口。茗 4—1+％2 了一了 I 一了 J’1其中 l 茁 I<÷‘①评注用母函数法解递推数列 a 柑=pa 训+ 贝 4—3xf(算)=一 3aI 菇一 3a2 菇 2—3a3 茗 3 一 一qa。的要点是：首先构造数列{％}的母函数八x)，即3a。并“一·②Ax)=∑an 艽”1，接着根据递推关系式，分别用一2 菇次 z)=2al 髫 2+2a223+2a3x4+ +2a。并肘 1+③px、一 qx2 乘母函数两端，并把这些式子两边分别相’加并整理，得到一个关于八茗)的分式方程，接着拆①+②+③ 得．，分分式，并利用幂级数的性质，将拆分所得的分式展(1—3x+2x2Ⅺ 吖茗)=口 I+(口 2—3a1)菇+(口 3—成幂级数，再整理变形，便可求得数列的通项公式． 3 口 2+2aI)茹 2+ +(口。+2—3 口。+l+2a。)筇”“+ ，母函数在处理数列、排列、组合、概率等问题中因为 am=3a 训一 2 口。，所以(1—3 戈+2x2)以菇)=有着广泛的应用，因此，中学老师有必要对母函数的口 l+(a2—3aI)髫=1，从而以髫)=思想有一个整体的认识与把握．事实上，对母函数的1—3z+2 工 2 一讨论并没有脱离已有的知识，只不过是用“高观点”再 2 一七=2 蠢 m 卜 nA=O 即私戈州= 来讨论中学数学．因此。关注“高观点”下中学数学讨论，关注高等数学与中学数学的“下靠”与“上联”∑(28—1)x”1，故 n。=2“1．问题的讨论，把日常教学工作和教学讨论融为一体， 例 4(2024 年广东卷文科)已知数列{口。}满应该是中学数学老师提高专业水...