第二节-导数的简单应用-学生版VIP专享

第二节 导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数 f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的微小值：函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点a 叫做函数 y＝f(x)的微小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的微小值．(2)函数的极大值：函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．微小值点、极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．, (1)f′(x)＞0(＜0)是 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由 f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得 f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是 f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.f′(x0)＝0 是 x0为 f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数 f(x)在 x1处取得极大值，则 x1为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2处取得微小值，则 x2为微小值点，微小值为 f(x2)．极大值与微小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．第一课时 ...